Hallo,
Ich weiß, dass die Quadratwurzel von 2=1,414213562 ist. Aber mein Sohn braucht eine Erklärung wieso es so ist. Ausserdem braucht er ein Beweis, dass er es herausgefunden hat.
Ich weiß die Frage ist falsch formuliert und bitte um Verzeihung.
Vielen Dank.
hallo,
kein problem.
die quadratwurzel: wenn man eine zahl a durch eine zahl b teilt, muss das ergebnis c gleich der zahl b sein
-> a/b=c c=b -> a/b=b -> b*b=a
im fall von wurzel2:
welche zahl kann an mit sich selbst multiplizieren, damit dabei zwei herauskommt?
zahl ergebnis
1 1*1=1
2 2*2=4 -> die gesuchte zahl ist kleiner als 2
wir rechnen eine stelle genauer:
10 10*10=100
14 14*14=196 -> 196/100 ergibt 1.96
15 15*15=225
-> die gesuchte zahl liegt zwischen 1.4 und 1.5
wir rechnen genauer:
140 140*140=19600
141 141*141=19881 -> die b>1.41 und b<1.42
142 142*142=20164
nach dem schema kann man beliebig genaue werte berechnen.
Sie haben noch fragen? einfach stellen! :)
Leider kann ich bei dieser Frage momentan nicht weiterhelfen. Tut mir leid
Bekanntlich ist die Quadratwurzel aus 2 (Länge der Diagonalen des Quadrats mit Seitenlänge 1) keine rationale Zahl, dh kein Bruch der Form p/q mit p,q ganze Zahlen. Das läßt sich leicht beweisen. Alle Brüche und ganze Zahlen lassen sich als unendliche periodische Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt: alle unendlichen periodischen Dezimalzahlen als Brüche. M.a.W. in der Dezimalzahldarstellung 1,4142135623.... von Wurzel 2 wiederholt sich hinterm Komma nie etwas.
Wenn x die Quadratwurzel aus 2 ist, muß gelten:
x*x=2 <=> x=2/x <=> 2x = x+x = x+2/x <=> x = 1/2(x+2/x)
Aus dieser Beziehung läßt sich eine monoton fallende Folge positiver Zahlen konstruieren, die gegen Wurzel 2 konvergiert: x_(n+1) = 1/2(x_(n)+2/x_(n)) , n=0,1,2,...
Dazu kann ein beliebiger Startwert x_(0)>0 gewählt werden.
Wählt man z.B. x_(0)=1, so ergeben sich die ersten Folgenglieder:
n: 0 1 2 3 ...
x_(n): 1 1,5 1,4166.. 1,4142.. ...
(Diese Möglichkeit der Quadratwurzelberechnung
x_(n+1) = 1/2(x_(n)+a/x_(n))
geht übrigens für jede Zahl a>0.
Details vergleiche: Otto Forster, Analysis 1, $6 Quadratwurzeln)
Ich hoffe, ich konnte behilflich sein!
Alles Gute!