Mathe GGT Arithmetik

Hilfe ggT Gleichung

Von: , 20.01.2012 12:41 Uhr

Meine Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie drei verschiedene Lösungen
Für folgende Gleichungen:

G1 ggT (24|x)=6
G2 ggT (y|18)=3
G3 ggT (a|b)=4

Dies ist nicht schwer.

Aber die folgende Ergänzung:
Wieviele Lösungen haben die Gleichungen insgesamt?

Meine Vermutung: alle unendlich!

Kann man das Irgendwie herleiten? Beweisen?

Und dann noch:

Beweisen sie folgende Behauptung:

ggT(2n-1|2n+1)=1

Also es sind ja beide ungerade Zahlen.
Wie kann man das Beweisen???

3 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 3 Stunden 0 hilfreich

   Re: Hilfe ggT Gleichung

   Meine Meinung nach gibt es für die ersten 3 aufgaben nur Jeweils eine Lösung da es sich schliesslich um den grössten gemeinsamen Teiler handelt(der grösste ist nur einer). Für das beweisen der anderen Gleichung hilft dir möglicherweise die Berechnung des ggT mittels primfaktorzerlegung(siehe Wikipedia). Ansonsten binn ich leider überfragt.
   
   mfg
   

2. Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

   Re: Hilfe ggT Gleichung

   Hallo
   
   Hast du schon mit Matrizen gerechnet? Dann kann ich dir einen Lösungsweg angeben...
   Wenn der Rang der Matrix= n ist gibt es genau 1 Lösung, wenn er kleiner als n dann undendlich viele...
   
   Aber eigentlich sollte es ja nur 1 Lösung geben für den Grössten gemeinsamen Teiler..
   
   Primzahlen sind ja nur durch 1 und sich selbst teilbar , somit müsstes du beweisen das 2n+1 und 2n-1 immer nur eine Primzahl ergibt...welche durch 1 sich selbst und durch 1 teilbar ist. Für n=0 ergibt es 1 und -1 welche nur durch 1 teilbar ist und dies auch der ggt ist....
   

3. Antwort von nach 5 Tagen 0 hilfreich

   Re: Hilfe ggT Gleichung

   sorry! War lang nicht mehr da!
   Gab es da mittlerweile keine Antwort?
   
   (Beweis von ggT(2n-1|2n+1)=1 siehe unten #2#)
   #1#
   Nur kurz für meine eigene Wdh (Studium ewig her!): bedeutet z.B. G1: ggT (24|x)=6
   24=6*4 => x=6k mit k "Element von" M1={k|k mod4<>0}
   o.ä. k<>4m...(oder mit Euklidischem Algorithmus ...)
   
   Wie war denn kurz Dein Lösungsansatz???
   
   # 1 ############### G1 ggT (24|x)=6=>x=6k k "Element von"M1
   G2 ggT (y|18)=3=>y=3n n"Element von"M2...
   G3 ggT (a|b)=4 =>a=4o & b=4p o"Element von"M3...
   (a,b)={(8,4)(12,4)(16,4)...(4*3,8)(4*5,8)(4*7,8)...(4*5,4*3),(4*7,4*3)...}
   
   G3 alleine Unendlich UND unabhängig von G1,G2
   oder meintest Du
   G3: ggT (x|y)=4
   
   (Oder kein Gleichungssystem sondern jede einzeln?)
   #######################################################
   
   #2#
   ggT(2n-1|2n+1)=1 <=>
   
   Es gibt keinen ("echten") gemeinsamen Teiler von
   2n-1 und 2n+1!
   
   #Widespruchsbeweis#
   Ann.: Es gibt natürliche Zahlen x<y und k>1 mit:
   (I) 2n-1=k*x UND
   (II) 2n+1=k*y
   =>(II)-(I): 2=k(y-x)
   => y-x=2 UND k=1 "kein echter Teiler"=>Widerspruch!
   ODER y-x=1 UND k=2 WIDERSPRUCH, da dann
   2n-1=k*x und 2n+1=k*y gerade Zahlen wären!
   
   q.e.d.
   

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