Berechnen sie die summe 2^x+2^-x , wenn es bekannt

Wissenschaft Mathematik
#1

Guten Tag,

berechnen sie die summe 2^x+2^-x , wenn es bekannt ist, das 4^x+4^-x = 23.

Ich hänge über dieser Aufgaeb und kann damit nichts anfangen. Vielleicht kann mir hier jemand helfen, ich würde mich sehr freuen.

#2

Hallo,

berechnen sie die summe 2^x+2^-x , wenn es bekannt ist, das
4^x+4^-x = 23.

Ich habe 4^x als 2^(2x) und 4^(-x) als 2^(-2x) geschreiben und dann die Gleichung 4^x+4^-x = 23 als quadratische Gleichung (mit Substitution) gelöst. Dann erhalte ich einen Term für 2^(2x), 2^(-2x) ist davon der Kehrwert. Dann addiere ich diese beiden Terme…

Ich hänge über dieser Aufgaeb und kann damit nichts anfangen.
Vielleicht kann mir hier jemand helfen, ich würde mich sehr
freuen.

Hats geholfen?
Gruß Orchidee

#3

Hallo.

berechnen sie die summe 2^x+2^-x , wenn es bekannt ist, das
4^x+4^-x = 23.

4^x+4^-x = 23

Das kann man etwas umformen:
2^2x + 2^-2x = 23
(2^x)^2 + (2^-x)^2 = 23

Nun quadratische Ergänzung, um das auf die 1. binomische Form zu bringen:
(2^x)^2 + (2^-x)^2 + 2*2^x*2^-x - 2*2^x*2^-x = 23
(2^x + 2^-x)^2 - 2*2^x*2^-x = 23
(2^x + 2^-x)^2 - 2 = 23
(2^x + 2^-x)^2 = 25

Dann noch auf beiden Seiten Wurzel ziehen:
|2^x + 2^-x| = 5

Da der Term im Betrag immer positiv ist, erhält man also:
2^x + 2^-x = 5

Sebastian.

#4

Hallo,

berechnen sie die summe 2^x+2^-x , wenn es bekannt ist, das 4^x+4^-x = 23.

\Big(a + \frac{1}{a}\Big)^2 = …\quad\Longrightarrow\quad a + \frac{1}{a} = \sqrt{…}

Vervollständigen und dann überlegen, was man für a einsetzen könnte.

Gruß
Martin

#5

Danke für die Antwort, werd es gleich mal ausprobieren.

#6

Danke, dass hat mir sehr geholfen.