Bestimmtes Integral berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
bräuchte zu einem bestimmten Integral die Hilfestellung zur Lösung einer Aufgabe. Ist schon lange her, als ich das im Studium hatte…
Es handelt sich um ein bestimmtes Integral über den Bereich von 70 bis 115
Hier die Aufgabe:
=(1-(integrate((3.6x^2-26.5x+140)*(3.5x^2-24x+130.5),70,115))/sqrt(integrate((3.6x^2-26.5x+143)^2,70,115)*(integrate((3.4x^2-24x+130.5)^2,70,115))))

Wie gesagt, mir wäre der detailierte Lösungsweg wichtig, nicht nur was als Ergebnis rauskommt. Vielen Dank!!
Stef

#2

Leider versteh ich die folgende Aufgabenstellung nicht:

Hier die Aufgabe:
=(1-(integrate((3.6x^2-26.5x+140)*(3.5x^2-24x+130.5),70,115))/s
qrt(integrate((3.6x^2-26.5x+143)^2,70,115)*(integrate((3.4x^2-2
4x+130.5)^2,70,115))))

Bitte die Aufgabe nochmal in Klarschrift:

untere Grenze:
obere Grenze:
Integrandfunktion:

mfrG

#3

Hallo,
wenn ich das richtig lese, sind das alles nur Polynome, das kann man alles einzeln integrieren. Also erst alle Klammern auflösen, dann für jeden Term im Zähler und Nenner einzeln die Stammfunktion berechnen, also z.B. (3.4/3)*x^3 für 3.4*x^2.

Viele Grüße.

#4

Hi,.

kannst Du das mal hinschreiben und als Bild einscannen?
Und dann vielleicht zusätzlich auch mal im Matheforum als Link zum Bild veröffentlichen?

LG
Bin erst heute abend wieder da.

#5

Liebe/-r Experte/-in,
bräuchte zu einem bestimmten Integral die Hilfestellung zur
Lösung einer Aufgabe. Ist schon lange her, als ich das im
Studium hatte…
Es handelt sich um ein bestimmtes Integral über den Bereich
von 70 bis 115
Hier die Aufgabe:
=(1-(integrate((3.6x^2-26.5x+140)*(3.5x^2-24x+130.5),70,115))/sqrt(integrate((3.6x^2-26.5x+143)^2,70,115)*(integrate((3.4x^2-24x+130.5)^2,70,115))))

Ich würde die Polynome ausmultiplizieren und dann die einzelnen Potenzfunktionen integrieren (integrate(x^n,a,b) = (a^(n+1) - b^(n+1))/(n+1)).

#6

Hallo Herr Berkes,
hier der Link zur Musteraufgabe:
http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=a5e3d2-134…

Gruß
Stef

#7

Hallo joku,
hier der Link zur Aufgabe:
http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=a5e3d2-134…

Gruß
Stef

#8

Es ist extrem schwer aus dem Kauderwelsch das eigentliche Integral abzulesen. Ich wäre dir sehr verbunden wenn du das mal durch einen Formeleditor schicken könntest, so das man es auch erkennen kann. Spontan sieht das jetz für mich wie das Integral über das Produkt verschiedener Polynome aus. Wenn das der Fall seien sollte dann ist die Standard-Vorgehensweise einfach den Term auszumultiplizieren und dann zu integrieren, bzw. alternativ die Kettenregel rückwärts anzuwenden, was allerdings schwieriger und unter „Substitution“ bekannt ist.

#9

Hallo Stefan,

Du willst also Polynomfunktionen vierten Grades (die sich ja ergeben, wenn Du die Produkte von zwei quadratischen Funktionen ausmultiplizierst) integrieren.

Das geht so:

\int_{x_1}^{x_2} \left(\sum_n a_n x^n\right),{\rm d}x ;;=;; \sum_n a_n \left[\frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{x_1}^{x_2} ;;=:;; \sum_n a_n \cdot \frac{x_2^{n+1} - x_1^{n+1}}{n+1}

Damit brauchst Du für die drei vorkommenden Integrale „nur noch“ die Zahlen einzusetzen… :wink:

Schöne Grüße,

Manfred

#10

Laut Maple ist

(1-int((3.6\*x^2-26.5\*x+140)\*(3.5\*x^2-24\*x+130.5),x=70..115)/sqrt(int((3.6\*x^2-26.5\*x+143)^2,x=70..115)\*int((3.4\*x^2-24\*x+130.5)^2,x=70..115)));

übrigens -0.031461415…

Schöne Grüße,

Manfred

#11

Sei M die gesuchte Zahl, dann muss man wie folgt vorgehen:

  1. Die Stammfunktion zu f(x) = 3,6x^2-26,5x+143 lautet: F(x) = 1,2 x^3-13,25x^2+143x

Dann ist das erste Nenner-Integral über f(x): F(115) – F(70) = 1666263.75 + 3844050 = 5510313,75

die Wurzel daraus: 2347,41

  1. Die Stammfunktion zu g(x) = 3,4x^2-24x+130 lautet: G(x) = 34/30 x^3-12x^2+130x

Dann ist das zweite Nenner-Integral über g(x): G(115) – G(70) = 1579908,33 + 3479000 = 5058908,33

die Wurzel daraus: 2249,20

  1. Die beiden Faktoren im Zählerintegral ausmultiplizieren:
    h(x)=(3,6x^2-26,5x+143)*(3,4x^2-24x+130)=12,24x^4 ……,
    Die Stammfunktion H(x) zu h(x) bilden, und wieder H(115) – H(70) berechnen. Die gesuchte Zahl ist dann:

M = [H(115) – H(70)] / [2347,41 * 2249,20]

Falls weiterhin Fragen bestehen, bitte nochmal melden!

mfrG

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#12

Jetzt ist es schon übersichtlicher.

In jedem der Integrale wird der Inhalt ausmultipliziert.
Dann wird jedes Integral berechnet,
dann kommen die Wurzeln und der Bruch dran.

Gruß
JK

#13

Hallo Herr Berkes,
vielen Dank für die genaue Beschreibung, ist schon sehr hilfreich. Komme aber noch nicht auf das richtige Ergebnis…

Dann ist das erste Nenner-Integral über f(x): F(115) – F(70) = 1666263.75 + 3844050 = 5510313,75

Die F(70) sind bei mir 356685 und nicht 3844050 gleiches bei

Dann ist das zweite Nenner-Integral über g(x): G(115) – G(70)= 1579908,33 + 3479000 = 5058908,33

G(70) hier habe ich 339033,33 anstatt 3479000

Meine Rechnungen:
G(70) = 388733,33-58800+9100
F(70) = 411600-64925+10001

Was mache ich noch falsch?
Vielen Dank!!!
Stef

#14

Hallo simmen,

Es ist extrem schwer aus dem Kauderwelsch das eigentliche
Integral abzulesen. Ich wäre dir sehr verbunden wenn du das
mal durch einen Formeleditor schicken könntest,…

hier ein Link zur Aufgabe:
http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=a5e3d2-134…
Wie bereits beschrieben, bräuchte eine „Laienanweisung“…
Gruß Stef

#15

Hallo Manfred,
danke für Deine Rückmeldung,
gibts eigentlich die Möglichkeit, solch ein Integral „online“ berechnen zu lassen? Habe meinen Fall für 4 unterschiedliche Funktionen und da wäre das ganze sehr hilfreich…
Danke und Gruß
Stef

#16

Okay, das sieht doch gar nicht mehr so wild aus:wink:

Also, die Integrale musst du einzeln ausrechnen, und dann den Quotienten berechnen.
Im oberen Term würde ich die Polynome aumultiplizieren und das dann Integrieren, wie man Polynome Integriert solltest du wissen, ist das einfachste vom einfachen. Wenn nicht, guck noch mal nach, Stichworte „Summenregel“ und „Polynomintegration“.
Im unteren Teil kannst du das theoretisch auch machen, ob das Sinnvoll ist ist die andere Frage:wink:
Die Alternative ist Substitution, bzw. partielle Integration. Die sind allerdings beide deutlich komplizierter als einfaches Polynomintegrieren. Damit geht das zwar schneller, aber wenn du einfach nur das Ergebnis haben willst und nicht zu viel Aufwand rein stecken willst, dann multipliziere die Quadrate aus, bilde das Integral über die Polyonme und ziehe dann die Wurzel.

#17

Das ist ja gut., dass Sie nochmal nachgerechnet haben: Leider kann ich meine Rechnung nicht direkt in diesen Editor eingeben. Daher sind Tippfehler leider häufig. Allerdings habe ich bei meiner ersten Antwort auch noch Quadrate übersehen. Hier jetzt die (hoffentlich) korrigierte Reinschrift (Das Ergebnis lässt aber hoffen):

f(x) = (3,6x^2-26,5x+143)^2 = 12,96x^4-190,8x^3+1731,86x^2-7579x+20449
F(x) = 2,59x^5 – 47,7x^4+577,28x^3-3789,5x^2+20449x

F(115) = 44621829774,58
F(70) = 3391968463,33
F(115)-F(70) = 41229861311,25
Wurzel daraus: 203051,38

g(x) = (3,4x^2 – 24 x +130)^2 = 11,56x^4-163,2x^3+1460x^2-6240x+16900
G(x) = 2,31x^5-40,8x^4+486,67x^3-3120x^2+16900x

G(115) = 40067473341,67
G(70) = 3058992066,67
G(115) – G(70) = 37008481275
Wurzel daraus: 192375,89

h(x) = (3,6x^2-26,5x+143)*(3,4x^2 – 24 x +130) = 12,24x^4 – 176,5x^3 + 1590,2x^2-6877x + 18590
H(x) = 2,45x^5-44,13x^4+530,07x^3-3438,5x^2+18590x

H(115) = 42283362701,04
H(70) = 3221177866,67
H(115) – H(70) =

( 39062184834,38 ) : ( 203051,38 * 192375,89 ) = 1,00 ( 0,999999869…)

freunbdliche Grüße!

PS: In welchem Fachbereich benötigt man denn derart unhandliche Integralterme?

1 Like
#18

Hallo Stefan,

ich habe da keine Erfahrungen, aber bei Google findet man durchaus Seiten wie bei
The Number Empire oder Solve My Math oder TutorVista.

Auch ganz interessant ist sicher WolframAlpha, mit der man z.B. folgende direkte Eingabe machen kann:
integrate (3.6*x^2-26.5*x+140)*(3.5*x^2-24*x+130.5) ….

Schöne Grüße,

Manfred

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#19

Hallo Herr Berkes,
entschuldigen Sie die verspätete Anwort (musste auf Ihre Rückmeldung nicht so lange waren) aber ich bin erst heute mit der Nachrechnung und meinen (noch viel schlimmeren Zahlen, die 3 Nachkommastellen haben) fertig geworden. Der Vergleich von y1 zu y2 brachte auch bei mir eine Ähnlichkeit von 1,0.
Nochmals, vielen vielen Dank für die super Unterstützung.
Ich muss mir nun nur noch ein Onlinetool organisieren, damit ich nicht alle vier Funktionen „von Hand“ durchackern muss. Dies wäre zwar eine gute Übung aber sehr aufwendig…
Nun aber auch zu Ihrer Frage: Wie sie schon bemerkt haben, bin ich mein Mathematiker und beschäftige mich als Sportler mit der Herzschlagfrequenz im Vergleich zur Leistung. Hier möchte ich für ein paar Probanden den anaeroben Bereich (deshalb die Grenzen von 70 - 115) untersuchen. Für die ersten beiden Probanden (y1 und y2) scheint die Ähnlichkeit des Verhaltens bei nahezu 100% zu liegen. Die Sportler haben also zum Zeitpunkt der Aufnahme eine gleiche Leistungsfähigkeit (hinsichtlich der Herzfrequenz) gehabt.
Wie bereits erwähnt, nochmals tausend Dank und vielleicht erlaube ich mir mal wieder eine Anfrage bei mathematischen Problemen.
Grüße!

#20

Hallo Manfred,
der Link zu WolframAlpha war wirklich ein super Tipp!
Danke, hat mir sehr viel Arbeit erleichtert!
Gruß
Stef