Liebe/-r Experte/-in,
ich bin ziemlich sicher, dass wenn man bei einer positiv
definiten Matrix Q die Außerdiagonalelemente Null
setzt, man die Determinate nicht verringert:
det(Q)
Hallo Herr Prof. Lehmann.
Für symmetrische, positiv definite Matrizen ist Ihre Vermutung
richtig: Sie ist eine Folge der so genannten Hadamard Ungleichung.
Man findet einen Beweis auf der Wikipedia-Seite zur Hadamard Ungleichung.
Falls die Matrix nicht symmetrisch ist, sehe ich spontan (noch) nicht ob
die Sache stimmt.
mit freundlichem Gruss,
Hagen Knaf.
Das ist richtig, symmetrisch ist die Matrix auch.
Vielen Dank, da wäre ich nicht drauf gekommen.
R. Lehmann
Hallo Herr Prof. Lehmann.
Für nicht-symmetrische Matrizen ist die Vermutung falsch.
Ist A eine positiv definite, symmetrische Matrix und B eine
Matrix mit der Eigenschaft x^t B x = 0 für alle Vektoren x, so
ist auch A+B positiv definit - aber möglicherweise nicht mehr
symmetrisch.
Man betrachtet nun eine symmetrische, positiv definite 2 x 2 Matrix A
a c
c b
und addiert eine Matrix B der Form
0 -d
d 0
wobei d beliebig sein kann.
Die Determinante von A+B ist dann ab-c^2+d^2 = det(A) + d^2
und A+B hat die gleichen Diagnonalelemente wie A.
Folglich gilt det(A+B)
Hallo,
die pure Mathematik ist bei mir schon eine Weile her…
Vielleicht kann man sich die Multiplikation x-transponiert mal Matrix mal x anschauen und durchrechnen, wie sich das Ergebnis ändert, wenn ein Element der Matrix Null wird, bzw. sich um ein Epsilon ändert.
Bei einer reinen Diagonalmatrix muss das ja sehr simpel sein und jedes Element ausserhalb der Diagonalen fügt einen Term dazu (oder so).
viel Glück
Martin
Hallo!
Ich bin mir auch ziemlich sicher, daß es stimmt, aber leider bekomme ich auch keinen Beweis hin. Sorry.
Grüße
Stefan
Lieber Herr Lehmann,
ist das Problem noch aktuell? Bisher konnte ich keinen Beweis für Ihre Vermutung finden.
Gruß, Kobl
Es geht mit der sogenannten Hadamard-Ungleichung.
Ein anderer Experte hier hat mich drauf gebracht.
Übrigens hatte ich vergessen zu erwähnen,
dass die Matrix symmetrisch ist. Sonst findet man
ein Gegenbeispiel.
Vielen Dank für Ihre Mühe
Rüdiger Lehmann