Extremwertproblem

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

„Gegeben ist das folgende Extremwertproblem: Man berechne das Extremum/die Extrema der Funktion f(x,y) = sqrt (xy) unter der Nebenbedingung x-y = 1. (Max./Min.-Prüfung muss nicht durchgeführt werden!)“

Nun ist die Vorgehensweise ja folgende:
Ich löse die Nebenbedingung nach x auf und setze dies in die Funktion ein.
Diese wird vereinfacht/berechnet und daraufhin werden die Ableitungen f’ = 0 bzw. f’’ = 0 gesetzt, bis auflösbar und ich einen y-Wert erhalte. Diesen y-Wert setze ich dann in die Nebenbedingung ein um den x-Wert zu erhalten.

Auf diese Aufgabe bezogen:

Nebenbedingung nach x aufgelöst:

x - y = 1
x = y + 1

Dies nun in die Funktion eingesetzt:

f(y+1,y) = sqrt ((y+1) * y)
= sqrt (y^2 + y)
= y + sqrt (y)

Wenn ich dies nun ableite, erhalte ich:

f’  = 0 = 1/(2*sqrt(y)) + 1
f’’ = 0 = -1/4y^3/2

…scheint mir irgendwie suspekt. Habe wahrscheinlich irgendwo eine falsche Angehensweise bzw. einen Fehler gemacht. Ich denke nämlich, dass der resultierende y-Wert etwas simpler aussieht bzw. zu ermitteln ist. Leider sehe ich den Fehler momentan nicht.

Ich hoffe mir kann diesbezüglich jemand helfen. Vielen Dank vorweg!

Schönen Gruß

Reiner

#2

Hallo,

= sqrt (y^2 + y)
= y + sqrt (y)

da ist der Fehler. Wurzel(a + b) ist nicht gleich Wurzel(a) + Wurzel(b). Du musst den Term also so wie er dasteht ableiten.
Zur Kontrolle, die erste Ableitung ist (1 + 2y) / 2 sqrt(y^2+y). Damit ist die Extremstelle bei y=-1/2.
Allerdings ist die Funktion an der Stelle nicht definiert, da das Innere der Wurzel negativ wird. Also hat die Funktion keine Extremstelle.

Nico

#3

Hier ist noch eine Visualisierung der zweidimensionalen Funktion (Blau-Töne) und die Einschränkung x-y=1 (rot).

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#4

Hallo Reiner,

ich stimme Nico in allen Punkten zu. Besser hätte ich es auch nicht darstellen können.
Viele Grü0ße,
Stefan

#5

Zunächst vielen Dank!

Mir war nicht ganz klar, wie man die Ableitung generell in diesem Fall bildet.
Nachdem ich nun herausgefunden habe, dass mit Hilfe der Substitution und der Kettenregel die Ableitung, die Du auch angegeben hast und ich dann auch erfolgreich selbst erhalten habe, zu berechnen ist.

Damit ist die Extremstelle bei y=-1/2.

Unklar ist mir allerdings, wie ich von der Ableitung auf diese Auflösung komme.

Wie erhalte ich y = - 1/2 ?

Schönen Gruß

Reiner

#6

Unklar ist mir allerdings, wie ich von der Ableitung auf diese
Auflösung komme.

Die Lösung für die Gleichung Ableitung=0:
(1 + 2y) / 2 sqrt(y^2+y) = 0 | * 2 sqrt(…), auf den Definitionsbereich aufpassen, y^2+y >= 0
1 + 2y = 0
1 = -2y
-1/2 = y

Überprüfen auf die obige Bedingung ergibt
1/4-1/2 >= 0
-1/4 >= 0
und damit zu einer falschen Aussage, womit die Extremstelle entfällt.

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#7

Ach… vielen vielen Dank! Ich habe einen dummen Flüchtigkeitsfehler beim auflösen gemacht.
Ich hatte das * 2 sqrt(…) dann auf die andere Seite gebracht. Doch 0 * irgendwas = 0. ^^

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

#8

Kurze Verständnisfrage:

Wenn der Definitionsbereich erfüllt gewesen wäre, hätte ich den y-Wert ja in die Nebenbedingung eingesetzt um den x-Wert der Extremstelle zu erfahren.

Ich hätte also nicht einfach

-1/2 = y

in die Nebenbedingung einsetzten können um herauszubekommen:

x = y + 1
x = -1/2 + 1
x = 1/2

Also, spätestens wenn ich den y-Wert habe, den Definitionsbereich prüfen!
Dann erst schauen:
Ist der y-Wert im Definitionsbereich, dann einsetzen in die Nebenbedingung.
Ist er es nicht, dann keine Extremstelle?

Soweit alles richtig verstanden?

Lieben Gruß

Reiner

#9

Soweit alles richtig verstanden?

Ich denke schon. Du solltest immer so früh wie möglich prüfen, ob Lösungen entfallen. Dann sparst du dir ggfs. lange Anschlussrechnungen.

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