Gilt die Formel sin x^2 + cos x^2 = 1 für jede reelle Zahl oder nur für die Zahl 1?
Für jedes reelle x.
Gruß Bombadil2
Gilt die Formel sin x^2 + cos x^2 = 1 für jede reelle Zahl
oder nur für die Zahl 1?
Hallo,
falls du diese Formel meinst
(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1
ja die gilt für jede Zahl. Häufig schreibt man auch
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1
Die Formel
\sin\left(x^2\right)+\cos\left(x^2\right)=1
ist was anderes und gilt nur für bestimmte x-Werte.
Gruß
hendrik
Gilt die Formel sin x^2 + cos x^2 = 1 für jede reelle Zahl
oder nur für die Zahl 1?
Ich nehme mal an, Du meinst sin²x + cos²x = 1.
Dazu folgenden Beweis:
sin x = GK/HY
cos x = AK/HY
(GK = Gegenkathete, AK = Ankathete, HY = Hypothenuse).
Im rechtwinkligen Dreieck gilt bekanntlich der Satz von Pythagoras:
GK² + AK² = HY²
Wir teilen Durch HY² …
GK²/HY² + AK²/HY² = 1
… und vergleichen das mit der Definition der Winkelfunktionen (s. o.)
⇒ sin²x + cos²x = 1
wobei x jeder Winkel zwischen 0 und 90° sein darf. Das enstpricht im Bogenmaß 0 und π/2. Nun nutzen wir noch aus, dass sin²x und cos²x π-periodisch sind und außerdem durch Verschiebung um π/2 in einander übergehen. Dann kann man den Definitionsbereich auch noch auf Werte außerhalb von 0 und π ausdehnen.
Michael