Mietskündigung ohne einhalten der Frist

Hallo, vielleicht kann mir jemand helfen. Eine Mieterin hat eine Wohnung gekündigt und ist mit selbigem Datum ausgezogen. Die ARGE verlangt jetzt die Miete zurück für diesen Monat, mit der Begründung Miete kann nur gezahlt werden wenn ein Wohnraum genutzt wird. Wo die Mieterin hingezogen ist, ist nicht bekannt. Die Haustürschlüssel der Wohnung hat sie mitgenommen und der Vermieter kann nicht mehr in die Wohnung. Wenn die Mieterin ohne Einhaltung der Frist die Wohnung verläst und die Schlüssel mitnimmt das der Vermieter nicht hineinkommt, muss der Vermieter dann die Miete wirklich an die ARGE zurück zahlen? Kann man die Polizei einschalten wegen nicht Abgabe der Schlüssel? Was kann man tun? Vielleicht hat irgend jemand so etwas auch schon mal erlebt.

MfG