Bitte um Kontrolle!

Wissenschaft Physik
#1

Also ich habe eine Matrix und soll dan Rang bestimmen und die Dimension des Kerns und soll eine mögliche Basis für den Kern dann bestimmen!!!

Ich habe jetzt folgende Matrix bereits auf Stufenform gebracht um die verlangten Einheiten abzulesen!!

Dann habe ich dastehen:
|1 0 -2 2 |
|0 1 8 -5 |
|0 0 0 0 |

Daraus sehe ich die Matrix hat den Rang 2 also Dim(bild(a)) = 2 und die Dim(Kern(a)) = ebenso 2 wegen R^4 -2 =2!!! Jetzt wäre doch eine mögliche Basis des Kerns, die Vektoren die mit der Matrix multipliziert 0 ergeben, und da die Dimension des Kerns 2 ist, muss es doch auch 2 Vektoren für diese Basis geben und das wäre doch dann v1=(0,0,1,0) und v2=(0,0,0,1) oder?

Ist das so richtig??? Bitte um feedback ist wichtig!!
lg Daniel

#2

Hallo Daniel,

aus Deinem Posting geht nicht hervor, was „a“ ist. Ich nehme an, dass Du damit die Abbildung L(A) meinst, wobei A die angegebene Matrix ist.

Wenn A eine mxn-Matrix mit Koeffizienten aus K ist, dann ist L(A) die Abbildung K^n->K^m: L(A)(v)=A*v. Es stimmt, dass dim Kern L(A) gleich n - dim Kern Bild L(A) ist.

v1 und v1 sind allerdings keine Lösungen des homogenen Gleichungssystems (A,0), wie die Probe zeigt. Aus der Zeilenstufenform kann man folgende Lösungen ablesen: 1. (2,8,1,0)’ und 2. (-2,5,0,1)’. Die ersten r=rang A Elemente der i-ten Lösung erhält man, indem man die Elemente der r+i-ten Spalte der Matrix mit -1 multipliziert. Die folgenden n-r Elemente sind jene des i-ten Einheitsvektors von K^(n-r).

Viele Grüße,
Falk

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