Hallo, was beschreibt denn die Diemsnionsformel eigentlich, also V = dimKern(alpha) + DimBild(alpha) und was ist dabei Dim Kern und DimBild? Ist die Dimension des Bildes nicht gleich der Rang einer Matrix? und die Dimension des Kerns ist V - Rang also die Zahl der Koeffizienten - den Rang???
Bitte um Erläuterung!!!
lg Daniel
Hallo Daniel,
in der Dimensionsformel ist alpha eine K-lineare Abbildung von dem K-Vektorraum V in den K-Vektorraum W. Kern alpha ist ein Untervektorraum von V, nämlich jener, der alle Vektoren v aus V enthält, die von alpha auf das Nullelement von W abgebildet werden. Demnach ist dim( Kern(alpha) ) die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus v, die von alpha auf das Nullelement von W abgebildet werden. Bild alpha ist ein Untervektorraum von W. Er enthält alle jene Vektoren w aus W, für die es ein v aus V gilt, sodass gilt w=alpha(v). dim( Bild(alpha) ) ist die Dimension dieses Untervektorraums von W. dim ( Bild(alpha)) heißt auch der Rang der linearen Abbildung alpha. Man kann zeigen, dass der Rang einer linearen Abbildung (also die Dimension ihres Bildes) gleich dem Rang ihrer Darstellungsmatrix ist. Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spaltenvektoren, was zugleich die Dimension des von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannten Untervektorraums ist.
Viele Grüße, Falk
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