Physik
Von: mcAdam, 3.9.2006 23:04 Uhr
Hallo!

Ich habe mich in letzter Zeit ein wenig mit dem Thema "Poker" beschäftigt. Hieraus ergab sich ein zaghafter Versuch, einige mathematische Betrachtungen anzustellen. Leider hänge ich fest... Bitte verzeiht meine laienhaftigkeit ;-)

Also:
Es geht um Texas Hold'em Poker (Wie im DSF-Fernsehen). Gespielt wird mit 52 Karten (4Farben, Karten von 2 bis 10 + J,Q,K,A).
Das Ziel meines Gedankenganges wäre aber, das einfache, wahrscheinlich allgemeingültige Berechnungsmodell für ein einfaches Problem zu finden. (Ist für Mathe-Profis wahrscheinlích total banal...)

Ich möchte wissen, wie ich berechnen kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine (oder mehrere) Karte(n) gezogen werden.
Meine Überlegung hierbei ist, dass aus einer bekannten Zahl noch nicht aufgedeckter Karten eine ebenfalls bekannte Anzahl von Karten meinen "Hoffnungen" entspricht. Ich versuche das über zwei Beispiele zu verdeutlichen: a) ich erwarte ein "Ass" bzw. b) ich erwarte ein "Pikk"

Also:

1) Es sind 52 Karten im Spiel. Ich decke eine auf.
1a)Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein "Ass" (oder aber jede andere beliebige Wertigkeit) aufdecke, ist 52/4 (Da 4 Asse aus 52 Karten).
Ist das richtig?
1b)Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein "Pikk" (oder eine andere beliebige Farbe) aufdecke, ist 52/13 (Da 13 Pikk aus 52 Karten).
Ist das richtig?

2) Angenommen ich habe schon 5 Karten nacheinander aufgedeckt, diese liegen offen auf dem Tisch. Davon sind 4 Pikk und ein Ass. Ich werde nun noch zwei weitere Karten aufdecken.
2a) - Die Wahrscheinlichkeit, dass BEIDE noch aufzudeckende Karten "Asse" sein werden, müsste folglich (47/3 * 46/2) sein? (Bei der ersten aufzudeckenden Karte sind noch 47 Karten im Spiel, davon 3 Asse, dann 46 Karten, 2 Asse) Ist das auch richtig?
2b) - Die Wahrscheinlichkeit, dass BEIDE noch aufzudeckende Karten "Pikk" sein werden, müsste folglich (47/9 * 46/8) sein? ((Bei der ersten aufzudeckenden Karte sind noch 47 Karten im Spiel, davon 9 Pikk, dann 46 Karten, 8 Pikk) Ist das auch richtig?

3)Wie berechne ich aber die Wahrscheinlichkeit nach obigem "Modell", dass von den zwei noch aufzudeckenden Karten
3a) MINDESTENS EINE der Karten ein "Ass" sein wird?
3b) analog MINDESTENDS EINE der Karten EIN "Pikk" sein wird?

4) Ist die grundsätzliche Überlegung der "passenden" Karten als Berechnungsgrundlage richtig? z.B. wenn ich aus 52 Karten eine aufdecke und möchte, dass diese ein "Ass" ODER ein "König" ODER ein "Pikk" wird, dann "passen" insgesamt 19 Karten. (4 Asse inkl. PikkAss, 4 Könige incl. PikkKönig und weitere 11 andere Pikk) Somit ist die Trefferwahrscheinlichkeit 52/19. Oder?

5) Wie ist die allgemeine Formel (alle Zahlen als Variabeln) zur Berechnung für folgendes problem: Ich decke x (z.B. 2) Karten aus einer Packung mit n (z.B. 52) Blatt auf. Ich erwarte p (z.B. 19) passende Karten. Wie wahrscheinlich ist, dass unter den aufgedeckten Karten mindestens t (z.B. 2) "Treffer" sind?
Wie kommt man auf so eine Formel?

Oh, Sorry Leute, ich hoffe, Ihr versteht, was ich meine...
Da seht Ihr was für eine Mathe-Niete ich bin... :-(

Bitte dennoch um eine ernsthafte Antwort, da ich mich gerade wirklich an dem problem aufreibe und keine Ahnung habe, ob ich zumindest Ansatzweise richtig liege...



  1. Antwort von M.L. 0
    Re: Frage zur Wahrscheinlichkeit-Berechnung
    Auch hallo. Ich habe mich in letzter Zeit ein wenig mit dem Thema "Poker"
    beschäftigt.
    Deswegen: http://www.spiegel.de/spiegel/0,1518,426891,00.html ? Also:

    1) Es sind 52 Karten im Spiel. Ich decke eine auf.
    1a)Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein "Ass" (oder aber jede
    andere beliebige Wertigkeit) aufdecke, ist 52/4 (Da 4 Asse
    aus 52 Karten).
    Ist das richtig?
    4/52 (-> günstige Fälle / alle möglichen Fälle) 1b)Die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein "Pikk" (oder eine
    andere beliebige Farbe) aufdecke, ist 52/13 (Da 13 Pikk aus
    52 Karten).
    Ist das richtig?
    13/52 2) Angenommen ich habe schon 5 Karten nacheinander aufgedeckt,
    diese liegen offen auf dem Tisch. Davon sind 4 Pikk und ein
    Ass. Ich werde nun noch zwei weitere Karten aufdecken.
    2a) - Die Wahrscheinlichkeit, dass BEIDE noch aufzudeckende
    Karten "Asse" sein werden, müsste folglich (47/3 * 46/2) sein?
    3/47 * 2/46 2b) - Die Wahrscheinlichkeit, dass BEIDE noch aufzudeckende
    Karten "Pikk" sein werden, müsste folglich (47/9 * 46/8)
    Wieder die Terme vertauscht... 3)Wie berechne ich aber die Wahrscheinlichkeit nach obigem
    "Modell", dass von den zwei noch aufzudeckenden Karten
    3a) MINDESTENS EINE der Karten ein "Ass" sein wird?
    P(1 Ass wird gezogen) + P(2 Asse werden gezogen) 3b) analog MINDESTENDS EINE der Karten EIN "Pikk" sein wird?
    k.A. 4) Ist die grundsätzliche Überlegung der "passenden" Karten
    als Berechnungsgrundlage richtig? z.B. wenn ich aus 52 Karten
    eine aufdecke und möchte, dass diese ein "Ass" ODER ein
    "König" ODER ein "Pikk" wird, dann "passen" insgesamt 19
    Karten. (4 Asse inkl. PikkAss, 4 Könige incl. PikkKönig und
    weitere 11 andere Pikk) Somit ist die
    Trefferwahrscheinlichkeit 52/19. Oder?
    19/52 (Merkregel: eine Wahrscheinlichkeit ist nie grösser als 1)
    Aber die Überlegung stimmt :-) 5) Wie ist die allgemeine Formel (alle Zahlen als Variabeln)
    zur Berechnung für folgendes problem: Ich decke x (z.B. 2)
    Karten aus einer Packung mit n (z.B. 52) Blatt auf. Ich
    erwarte p (z.B. 19) passende Karten. Wie wahrscheinlich ist,
    dass unter den aufgedeckten Karten mindestens t (z.B. 2)
    "Treffer" sind?
    Gilt 'Ziehen mit Zurücklegen' oder 'Ziehen ohne Zurücklegen' ? Ersteres wäre die Binomialverteilung und letzteres die hypergeometrische Verteilung. Das wurde bei den oberen Brüchen übrigens nicht beachtet und es wurde stillschweigend von 'Ziehen ohne Zurücklegen' ausgegangen... Wie kommt man auf so eine Formel?
    Wissen oder Können :)

    HTH
    mfg M.L.
    2 Kommentare
    • von mcAdam 0
      Re^2: Frage zur Wahrscheinlichkeit-Berechnung
      Zuerst mal Danke für die Antwort!


      Das die Wahrscheinlichkeit grundsätzlich kleiner als 1 sein muss leuchtet ein.

      Bei allen meinen "Pokerberechnungen" handelt es sich immer um 'Ziehen OHNE Zurücklegen'. Also gilt Deiner Meinung nach die hypergeometrische Verteilung. Aha! Und was ist das bitte? ;-) 3)Wie berechne ich aber die Wahrscheinlichkeit nach obigem
      "Modell", dass von den zwei noch aufzudeckenden Karten
      3a) MINDESTENS EINE der Karten ein "Ass" sein wird?
      P(1 Ass wird gezogen) + P(2 Asse werden gezogen)
      Was heißt das? P(...)+ P(...)? wie berechne ich obiges Beispiel? 3b) analog MINDESTENDS EINE der Karten EIN "Pikk" sein wird?
      k.A.
      heißt k.A. "keine Ahnung"? Müsste doch genauso wie mit den Assen sein -oder?

      Ich habe hierzu einen kleinen "Versuch" gemacht. Ich habe mir alle möglichen Variationen für 2 gezogene Karten aus einer Packung mit insgesamt 7, 8 bzw. 9 Karten angeschaut. Nun habe ich angenommen, was wäre, wenn in den jeweiligen Päckchen 1, 2,3...bis alle Karten "passend" d.h. in einer bestimmten Farbe wären.

      Ich habe folgendes herausbekommen:

      beim "Päckchen" mit 7 Karten gibt es für 2 gezogenen Karten 21 möglichen Variationen. Da 7*6/1*2. So weit bin ich noch gekommen, dank Alma Mater ;-)

      Das sieht so aus:
      AB BC CD DE EF FG
      AC BD CE DF EG
      AD BE CF DG
      AE BF CG
      AF BG
      AG

      Das gleiche Spiel habe ich auch für ein "Päckchen" mit 8 und mit 9 Karten gemacht. (bei 8 sind es 28 mögliche Variationen, bei 9 sind es 36.)

      Die Anzahl der "passenden" Variationen ergibt somit bei 2 gezogenen Karten aus
      einem Päckchen von 7 8 9 Karten
      mögliche Varianten 21 28 36
      passende Varianten bei:
      1 "passenden" Karte 6 7 8
      2 "passenden" Karten 11 13 15
      3 "passenden" Karten 15 18 21
      4 "passenden" Karten 18 22 26
      5 "passenden" Karten 20 25 30
      6 "passenden" Karten 21 27 33
      7 "passenden" Karten 21 28 35
      8 "passenden" Karten - 28 36
      9 "passenden" Karten - - 36

      Nun suche ich die Formel... Aber kein Plan :-(((
      Die müsste dann auch für x gezogenen Karten aus einer Packung mit n Karten bei y passende Karten funktionieren. (ohne zurücklegen)

      Und noch eine nicht unerhebliche Gedankenproblematik in meinem Kopf:
      Dass ich aus einem Päckchen mit 52 Karten ein Ass ziehe ist also
      4:52.
      Aber ich habe auch schon (einschlägige Literatur zu Poker) auch schon 4:48 (4 zu 48) gelesen ??? Der dortige Gedankengang besagt, es gäbe ja 4 passende und 48 nicht passende Karten... Das sind aber zwei verschiedene Zahlen (4/52=1/13, 4/48=1/12)!!! Wie bekomme ich das in meine bescheidene Birne... ;-) ?

      Bitte höflichst um Hilfe. Ich drehe noch durch. Und das bei einem wohl doch so einfachen Problem... ;-))
      Kannst Du bitte auch die - auch für mich verständliche ;-) - formel für diese hypergeometrische Verteilung angeben, oder einen Verweis liefern?

      DANKE!!!!
    • von M.L. 0
      Re^3: Frage zur Wahrscheinlichkeit-Berechnung
      Hallo nochmal. Zuerst mal Danke für die Antwort!
      Bitte :)
      Auch wenn es wohl doch zu spät war für eine bessere Antwort ;-)
      Das die Wahrscheinlichkeit grundsätzlich kleiner als 1 sein
      muss leuchtet ein.
      Genauer: die Wahrscheinlichkeit P(x) liegt immer zwischen 0 und 1
      -> 0 <= P(x) <=1 Bei allen meinen "Pokerberechnungen" handelt es sich immer um
      'Ziehen OHNE Zurücklegen'. Also gilt Deiner Meinung nach die
      hypergeometrische Verteilung. Aha! Und was ist das bitte? ;-)
      http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verte...
      Man denke an das Lottospielen 3)Wie berechne ich aber die Wahrscheinlichkeit nach obigem
      "Modell", dass von den zwei noch aufzudeckenden Karten
      3a) MINDESTENS EINE der Karten ein "Ass" sein wird?
      P(1 Ass wird gezogen) + P(2 Asse werden gezogen)
      Was heißt das? P(...)+ P(...)? wie berechne ich obiges
      Beispiel?
      P(1 Ass unter der Bedingung, daß 5 von 52 Karten schon gezogen wurden und eine davon 1 Ass war) = 3/47
      P(2 Asse) analog mit anderen Zahlen. heißt k.A. "keine Ahnung"? Müsste doch genauso wie mit den
      Assen sein -oder?
      Ja. Aber um Spekulationen zu vermeiden... Das sieht so aus:
      AB BC CD DE EF FG
      AC BD CE DF EG
      AD BE CF DG
      AE BF CG
      AF BG
      AG
      Also den Raum modelliert, innerhalb dessen sich alles abspielt.

      ...also das wird jetzt ein wenig zu komplex um das innerhalb dieses Forums (und vor allem 'einfach so') zu erklären, deswegen sollte hier besser ein Computerprogramm mit der Ausrichtung auf derartige Fragestellungen zu Hilfe genommen werden ;-)
      Z.B. 'R', 'Matlab', 'SAS',...

      mfg M.L.