Gleichschenklige Dreiecke

[Attilius]

Hallo,

zur Einleitung:
1.Letzte Hausaufgabe: Wo liegen alle Punkte einer Ebene, die von einer Geraden g und einem Punkt P, der nicht auf g liegt,den gleichen Abstand haben?
…Bleistift,Lineal,Zirkel…
2.Antwort: Alle Punkte,die von einer Geraden und einem Punkt[…]den gleichen Abstand haben, bilden eine Parabel.
ungefähr so

 \ /
 \ P /\*B
 -\*-
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g
 \*C(auf der Geraden)

__ __
Die neue Aufgabe ist, zu beweisen, dass beim Dreieck PBC die Seiten BC=a und BP=b gleich lang sind.

Also-> Behauptung:
a=b

 .
 / \ 
 b/ \a
 /\_\_\_\_\_\ 
 c 

Der Lehrer meinte noch, die Kongruenzsätze könnten vielleicht ganz hilfreich sein.

Ich hab mich also hingesetzt und ein bisschen überlegt, bin aber nur darauf gekommen das wenn a=b wahr ist, dann muss auch alpha=beta wahr sein,wegen SWS…glaub ich(was übrigens auch bei Wikipedia stand…).

Dann bin ich auf die Idee gekommen, dass man die K.-sätze gar nicht braucht…wie ich meine.
Mit dem Pythagoras geht das doch auch.
h:Höhe auf c

h^2+(c/2)^2=b^2 ^ h^2+(c/2)^2=a^2
=> b^2 = a^2
=> b=a

Jetzt meine Frage: Ist es richtig, dass man diese Aussage auch so wie ich es gemacht hab beweisen(naja zumindest zeigen, ist ja kein richtiger Beweis) kann oder muss man es doch irgendwie mit den K.-sätzen machen?

Gruß Sven

PS:Wenns falsch ist, was ich gemacht hab, bitte nicht den richtigen Beweis posten, sondern eventuell ne kleine Hilfe

[Falk_ea60b6]

Hallo Sven!

Schreibe bitte konkret, aus welchen Voraussetzungen die Behauptung BC=PC hergeleitet werden soll. Leider ist mir dies nicht ersichtlich. Ich habe deinem Posting folgende Voraussetzungen entnommen:

• C ist Element der Geraden c

• P ist der Scheitelpunkt einer Parabel

• B ist ein Punkt, der auf der Parabel liegt

• Die Punkte PBC bilden ein Dreieck

Daraus folgt keinesfalls PB=BC. Man kann zu jedem beliebigen Paar (P,C) unendlich viele Punkte B auf der Parabel wählen, deren Abstand von C jeweils anders ist. Der Betrag der Strecke PC ist dabei aber konstant. Von welchen Voraussetzungen dein ‚Beweis‘ ausgeht konnte ich leider auch nicht herausfinden.

Wenn ich etwas entscheidendes überlesen oder missverstanden habe, bitte ich im Verzeichung.

Viele Grüße
Falk

[Richard_Spreng_0e4467]

Zunächst zu Deinem Beweis:

h^2+(c/2)^2=b^2 ^ h^2+(c/2)^2=a^2
=> b^2 = a^2
=> b=a

Woher nimmst Du die erste Zeile. Die gilt nur wenn das Dreieck gleichschenklig ist. Wegen des c/2 ist vorausgesetzt, dass die Höhe in der Mitte von c aufsetzt. Ergo beweist das nur, dass ein gleichschenkliges Dreieck gleichschenklig ist.

1.Letzte Hausaufgabe: Wo liegen alle Punkte einer Ebene, die
von einer Geraden g und einem Punkt P, der nicht auf g
liegt,den gleichen Abstand haben?
…Bleistift,Lineal,Zirkel…
2.Antwort: Alle Punkte,die von einer Geraden und einem
Punkt[…]den gleichen Abstand haben, bilden eine Parabel.
ungefähr so

\ /
\ P /*B
-*-
_____________________________g
*C(auf der Geraden)

Die Frage ist nun, wo C auf der Geraden liegt. Mir scheint, es soll der Fußpunkt des Lotes BC auf g sein. Dann gibts nix mehr zu beweisen, weil nach Aufgabe 1 PB=BC ist. Vorausgesetzt P ist immernoch das P der Aufgabe 1 und damit nicht Element der Parabel.

Wenn, wie es in der Skizze scheint P nun im Scheitel auf der Parabel liegt, gibt es meiner Ansicht nach nur zwei B, für die gilt PB=CB (wenn C immernoch Lotfußpunkt ist).
Ich stelle mir dazu unendlich viele Kreise, die g in C als Tangente haben, vor und durch einen Punkt Q gehen. Die Mittelpunkte B dieser Kreise beschreiben die Parabel. Der kleinste Kreis hat den Radius d(P;g)=PQ, wobei der Kreis symmetrisch durch das Lot durch Q auf g geteilt wird. Da sich bei hinreichend großen Kreisen die Kreise aber vollständig links bzw. rechts des Lotes befinden, muss der Kreis auch einmal durch P gehen. Wenn das der Fall ist, gilt BC=BP=PC=BQ=PQ.

[Attilius]

Hallo Sven!

Hallo Falk,

Schreibe bitte konkret, aus welchen Voraussetzungen die
Behauptung BC=PC hergeleitet werden soll. Leider ist mir dies
nicht ersichtlich.

Da hast du leider etwas über- bzw. ‚falsch‘ gelesen.
Die Behauptung lautet nicht BC=PC, sondern BC=PB.

Ich habe deinem Posting folgende
Voraussetzungen entnommen:

• C ist Element der Geraden c

richtig(der Geraden g)

• P ist der Scheitelpunkt einer Parabel

Argh,dumme Skizze von mir,tschuldigung. P ist der Brenn- nicht der Scheitelpunkt der Parabel und es ist der gleiche Punkt wie in Aufgabe 1.

• B ist ein Punkt, der auf der Parabel liegt

richtig

• Die Punkte PBC bilden ein Dreieck

richtig

Daraus folgt keinesfalls PB=BC. Man kann zu jedem beliebigen
Paar (P,C) unendlich viele Punkte B auf der Parabel wählen,
deren Abstand von C jeweils anders ist. Der Betrag der Strecke
PC ist dabei aber konstant. Von welchen Voraussetzungen dein
‚Beweis‘ ausgeht konnte ich leider auch nicht herausfinden.

Wenn ich etwas entscheidendes überlesen oder missverstanden
habe, bitte ich im Verzeichung.

Viele Grüße
Falk

MfG Sven

[Attilius]

Zunächst zu Deinem Beweis:

h^2+(c/2)^2=b^2 ^ h^2+(c/2)^2=a^2
=> b^2 = a^2
=> b=a

Woher nimmst Du die erste Zeile. Die gilt nur wenn das Dreieck
gleichschenklig ist. Wegen des c/2 ist vorausgesetzt, dass die
Höhe in der Mitte von c aufsetzt. Ergo beweist das nur, dass
ein gleichschenkliges Dreieck gleichschenklig ist.

Naja man kanns ja mal versuchen

1.Letzte Hausaufgabe: Wo liegen alle Punkte einer Ebene, die
von einer Geraden g und einem Punkt P, der nicht auf g
liegt,den gleichen Abstand haben?
…Bleistift,Lineal,Zirkel…
2.Antwort: Alle Punkte,die von einer Geraden und einem
Punkt[…]den gleichen Abstand haben, bilden eine Parabel.
ungefähr so

 \ /
 \ P /\*B
 -\*-
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g
 \*C(auf der Geraden)

Die Frage ist nun, wo C auf der Geraden liegt. Mir scheint, es
soll der Fußpunkt des Lotes BC auf g sein. Dann gibts nix mehr
zu beweisen, weil nach Aufgabe 1 PB=BC ist. Vorausgesetzt P
ist immernoch das P der Aufgabe 1 und damit nicht Element der
Parabel.

Also, um keine Missverständnisse wegen der schlechten Skizze aufkommen zulassen:
Es handelt sich um die gleichen ‚Bedingungen‘ wie bei Aufgabe 1.
B: irgendein Punkt auf der Parabel
P: Brennpunkt der Parabel
g: Gerade g mit Abstand r zum Punkt P
C: Fußpunkt des Lotes BC auf g
S: Scheitelpunkt der Parabel mit Abstand r/2 zu P und g
Bist du dir sicher, dass es da nichts mehr zu beweisen gibt.
In Aufgabe 1 haben wir (einige wenige) Punkte der Parabel durch Schneiden der Kreise K_1-6(P,r_1-6) und Parallelen p_1-6 zu g mit dem Abstand r_1-6 erhalten, aber wir haben nicht konkret ‚bewiesen‘ , dass …ach quatsch stimmt gar nicht.Der Punkt K₃’geschnitten Zeichen’p₃ hat ja z.B. immer den Abstand r₃ zu g UND zu P, oder nich?
Mmmmh, vielleicht wollte uns unser Lehrer ja doch nur nazen…
Ich werds morgen sehen.
Danke für die Antworten.
MfG Sven

[Sebastian_Schmidt]

Hallo.

zur Einleitung:
1.Letzte Hausaufgabe: Wo liegen alle Punkte einer Ebene, die
von einer Geraden g und einem Punkt P, der nicht auf g
liegt,den gleichen Abstand haben?
…Bleistift,Lineal,Zirkel…
2.Antwort: Alle Punkte,die von einer Geraden und einem
Punkt[…]den gleichen Abstand haben, bilden eine Parabel.
ungefähr so

\ /
\ P /*B
-*-
_____________________________g
*C(auf der Geraden)

__ __
Die neue Aufgabe ist, zu beweisen, dass beim Dreieck PBC die
Seiten BC=a und BP=b gleich lang sind.

Also-> Behauptung:
a=b

.
/
b/ \a
/_____
c

Ergibt sich doch schon aus der Aufgabenstellung, eigentlich ist da doch nichts zu beweisen:
Du hast eine Parabel, bei der alle Punkte den gleichen Abstand zu P und zur Geraden haben. Einer dieser Punkte ist B. Der Abstand von B zu P ist also gleich dem Abstand von B zur Geraden. Der Abstand eines Punktes zur Geraden wird berechnet durch die Länge der Strecke zwischen dem Punkt und dem Schnittpunkt des Lots auf der Geraden durch den Punkt. In der Aufgabenstellung also die Länge der Strecke BC. Da nach Aufgabenstellung diese Länge gleich der Länge der Strecke BP ist, beweist sich die Aufgabenstellung doch eigentlich selbst.

Sebastian.