hallo,
das interal von 1/(e^x+1) scheint mir unlösbar zu sein. wenn nur
1/e^x dastehen würde, wäre das integral -1/e^x - die +1 ist für
mich also iritierend. gibts jemand für den da keine iritation
entsteht?
danke
anne
Keine Stammfunktion leider,
liebe Anne, das ist ja das „Drama“ zum Bleistift der Zetafunktionen.
Das Int{x^[-1/2]*e^[-x]*dx} hat ja auch keine, und es konnte nur auf Basis des Vergleichs mit dem „Wallisprodukt“ der Wert des bestimmten solchen 0
Hallo Anne,
das interal von 1/(e^x+1)
schreit geradezu nach der Substitution x(t) = ln t. Wir bilden die Ableitung von x(t): dx/dt = 1/t, stellen fest, daß diese wunderschön einfach ist, erhoffen uns deshalb von dieser Substitution einen Erfolg, und probieren es aus:
1 1 1
Integral ------- dx = Integral ------------ --- dt
e^x + 1 e^(ln t) + 1 t
~
1
= Integral --------- dt
t (t + 1)
Jetzt wird es ein ganz kleines bischen tricky. Den Bruch 1/(t (t + 1)) kannst Du sehr leicht in eine Summe überführen, was Du erkennst, wenn Du den Zähler statt als „1“ als „1 + t - t“ schreibst. Dann ergibt sich nämlich:
1 + t - t 1 + t t 1 1
--------- = --------- - --------- = --- - -------
t (t + 1) t (t + 1) t (t + 1) t t + 1
Dieses Ergebnis ist’n echter Anlaß zur Freude, denn die Stammfunktion ist klar:
ln t - ln(t + 1) [\*]
(Ich habe mir erlaubt, die Integrationskonstante „+ C“ der Einfachheit halber wegzulassen).
Nun mußt Du noch daran denken, die Substitution auch wieder rückgängig zu machen. Die Umkehrfunktion zu x(t) = ln t ist t(x) = e^x. Das eingesetzt in [*] ergibt:
ln e^x - ln(e^x + 1) = x - ln(e^x + 1)
Fertig. Die Stammfunktion zu f(x) = 1/(e^x + 1) ist F(x) = x – ln(e^x + 1).
Noch ein Tip: Unter
http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi
wartet „der Integrator“ darauf, mit Funktionen gefüttert zu werden, um deren Stammfunktion finden zu dürfen. Das ist ein Service des Herstellers der Mathe-Software „Mathematica“ (wohl auch dazu gedacht, damit sich jeder, der vielleicht die Software kaufen will, vorab von der Leistungsfähigkeit des Integrators überzeugen kann). Bevor Du den Integrator verwendest, solltest Du Dich jedoch unbedingt mit den Syntaxregeln vertraut machen. Z. B. mußt Du Funktionsargumente immer in eckigen Klammern setzen und den ersten Buchstaben eines Funktionsnamens mußt Du stets groß schreiben: „Sin[x]“, „Cos[t]“, „Exp[a]“ etc. Wenn Du möchtest, kannst Du dann ja mal Deine Funktion „1/(e^x+1)“ eingeben, und zwar als „1/(E^x+1)“, und Dich davon überzeugen, daß Du tatsächlich als Stammfunktion „x – ln(e^x + 1)“ angezeigt bekommst.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Bronstein
Hallo Anne,
im Bronstein ist das aufgelistet unter Nr. 453:
Ergebniss: ln(e^x/(1+ e^x))
Viele Grüße
Stefan
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Und wenns keiner tut,
dann mussichs selber:
Ich bin bestürzt und beschämt.
Und beglückwünsche dich, Anne, zur schnellen Korrektur meines Irrtums durch Martin und Stefan.
Ich kann mich allerhöchstens entschuldigen mit meiner Auseinandersetzung mit dem Integral{(t/[e^t+ 1])*dt}, die mir tatsächlich wohl den Verstand geraubt hat. Mit dem t statt x.
Habichmich garnicht gefragt: „Und was ist mit t?“
Klar, hättich auch in jedem Falle im Bronstein oder Apelblat nachkuken können. Irgendwie hab ich den (alten, dünneren) Bronstein immer geliebt.
Sowas passiert eim nur, wenn man Dinge (hin)sieht, die nicht dsa sind.
Noch einmal: Entschuldigt bitte meinen Fehler!
Manfred Jj