Komplexe Wechselstromrechnung

Hallo,
im Rahmen einer Facharbeit im Fach Informatik an einem nordrheinwestfälischen Gymnasium habe ich ein Programm zur Berechnung von Blindwiderstand(/Leistung), Scheinwiderstand(/Leistung) und Wirkwiderstand(/Leistung) im Wechselstromkreis in Delphi geschrieben.

Die Berechnungen sollen sowohl für die Reihenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand, als auch für die Parallelschaltung der gleichen Bauelemente möglich sein.

Die Berechnungen für die Reihenschaltung konnte Ich bereits durch im Internet verfügbare Applets überprüfen und somit feststellen, dass dieser Bereich des Programms bereits fehlerfrei funktioniert.

Ein „Problem“ stellt nun die Parallelschaltung dar:
Ich habe die benötigten Formeln zwar soweit ins Programm integriert, mir steht jedoch keine Vergleichsmöglichkeit zur Verfügung, da ich im Internet keine Beispielrechnung zur Parallelschaltung mit eingesetzten Werten finden konnte.

Meine Bitte ist nun entweder mir zu sagen, ob die nachfolgend angegebenen Ergebnisse des Programms richtig sind, oder wenn mir alternativ eine Internetseite mit Beispielrechnungen für die Parallelschaltung zu nennen.

Ergebnisse, mit der Bitte sie zu überprüfen:

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF

die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

phi = 64,76°
cosphi = 0,42627 (gut,

Guten Tag!
Auf dieser Seite, http://www.walter-fendt.de/ph14d/kombirlc.htm ,
findest du ein schönes Java-Applet, das dir hoffentlich weiterhelfen kann. Es gibt zwar die Impedanz aus, doch ich glaube in dieser komplexen Größe steckten deine 3 gesuchten Widerstände.
Hoffe ich konnte helfen.

Hallo Carsten,

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF

die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm

„150 Ohm“ ist schon falsch. Der Wirkwiderstand einer RC-Parallelschaltung ist nicht gleich dem Wert von R (dies trifft auf eine RC-Serienschaltung zu, aber nicht auf eine Parallelschaltung!), sondern gegeben durch R/(1 + (w R C)^2).

Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

Diese Werte dürften ebenfalls nicht korrekt sein.

Eine weitere Frage bleibt noch, nämlich wie das ganze bei der
Parallelschaltung aussieht, wenn eine Spule beteiligt ist.
Wenn man von einer idealen Spule ausgeht, dann müsste der
Strom, der durch diese Spule fließt doch theoretisch unendlich
groß werden, oder?
Wie sieht das bei Wechselstrom aus, stimmt diese Überlegung?

Nein. Das wäre bei Gleichstrom der Fall, aber nicht bei Wechselstrom. Legst Du an eine ideale Spule eine Wechselspannung an, dann fließt ein endlich großer Strom der Stärke I = U/(w L), der jedoch ein reiner Blindstrom ist (Phasenverschiebung zw. U und I = 90°). Ein solcher Blindstrom transportiert während einer Halbwelle Energie zur Spule, bringt sie aber in der darauffolgenden auch komplett wieder zurück. Somit bleibt im zeitlichen Mittel keine Energie in einer idealen Spule hängen, weshalb sie auch nicht warm wird. Das andere Extrem ist der rein ohmsche Widerstand: Der in einem solchen fließende Strom ist ein reiner Wirkstrom (U und I in Phase), der zu jedem Zeitpunkt Energie von der Quelle zum Widerstand transportiert, und niemals das kleinste bischen zurück. Deshalb wird ein Widerstand „maximal warm“. Bei Zusammenschaltungen von Widerständen, Spulen und Kondensatoren sind die in den Zuleitungen zur Quelle fließenden Ströme ein „Blindstrom-Wirkstrom-Mix“ (mathematisch korrekt: additive Überlagerung). Wie groß der Wirkanteil und der Blindanteil in einem konkreten Fall sind, hängt von der Phasenverschiebung zwischen U und I ab.

Wie berechnet denn Dein Programm aus den Inputs die Ergebnisse? Das kannst Du nämlich „schlau“ machen, und „weniger schlau“. Wenn Du fünf Bücher durchstöberst, bis Du endlich in einem die monströsen Formeln für eine RLC-Parallelschaltung gefunden hast, um sie dann so wie sie sind in Deinen Programmcode einzufügen, dann fällt das eigentlich in die Kategorie „Holzhammer-Methode“. Viel eleganter wäre, Dein Programm ausschließlich mit den _grundlegenden_ Formeln auszustatten. Da diese komplexer Natur sind, mußt Du dem Programm das Rechnen mit komplexen Zahlen beibringen. Das ist aber weit weniger wild, als Du vielleicht glaubst. Dafür bekommst Du einen dicken Vorteil, nämlich den, daß sich der benötigte Formelapparat auf die absoluten „Basics“ reduziert, nämlich:

1a) Der komplexe Wechselstromwiderstand (KWSW) eines Widerstands beträgt…
1b) …eines (idealen) Kondensators…
1c) …einer (idealen) Spule…

2a) Bei einer Reihenschaltung von KWSWen ergibt sich der Gesamt-KWSW zu…
b) …Serienschaltung…

3a) Der Wirkanteil eines eines KWSWs ist gleich…
3b) …Blindanteil…
3c) Die Impedanz eines KWSWs beträgt…

(alle „…“ bitte selbst in Erfahrung bringen/überlegen)

Die „Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten“, über die Dein Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:

  • komplexe Zahlen addieren,
  • den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,
  • den Betrag einer k. Zahl berechnen,
  • den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.
  • und falls Du noch Leistungen berechnen willst: k. Zahlen miteinander multiplizieren

Sämtliche Punkte sind – das nötige Wissen über komplexe Zahlen vorausgesetzt – sehr einfach zu implementieren (das ist ja der Witz an der Sache). Und trotzdem, bzw. gerade deswegen wäre Dein Programm prinzipiell in der Lage, RCL-Zusammenschaltungen praktisch beliebiger Komplexität („R parallel zu C, dazu in Serie L, dazu parallel R, und zu allem noch ein C in Serie“) numerisch zu berechnen.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Hallo Carsten,

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF
die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm
Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

Die Resultat stimmen so weit. Die Spannung U ist irrelevant, sie wird in Deinem Programm sicherlich auch gar nicht verarbeitet, es sei denn, Du möchtest auch Einzelspannungen bzw. Einzelströme ausgeben.

Gruß

Dieter

Hallo Dieter,

Parallelschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator:
f = 50 Hz
U = 230 V
R1 = 150 Ohm
C1 = 10 µF
die Ergebnisse, die das Programm dazu liefert sind folgende:

Wirkwiderstand: 150 Ohm

Die Resultat stimmen so weit.

da irrst Du Dich leider, denn der Wirkwiderstandsanteil einer RC-Parallelschaltung ist nicht gleich R.

Gruß
Martin

Hallo und vielen Dank schonmal,

mit dem Rechnen mit komplexen Zahlen habe ich mich bereits beschäftigt und hatte auch vor, die von dir genannte Methode dem Programm diese Fähigkeiten „beizubringen“ zu nutzen, da ich eh schon einmal ein anderes Programm zu den komplexen Zahlen geschrieben habe, welches diese Berechnungen beherrschte. Der Fehler liegt, wenn ich das richtig sehe in der fehlerhaften Kehrwertbildung, die ich bis jetzt nie benötigt hatte, was aber auch kein Problem darstellen sollte.

Die „Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten“, über die Dein
Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:

  • komplexe Zahlen addieren

wenn ich das richtig sehe, brauche ich das primär für die Reihenschaltung?

  • den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,

für die Leitwerte?

  • den Betrag einer k. Zahl berechnen,

für den Scheinwiderstand?

  • den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.

für die Phasenverschiebung?

  • und falls Du noch Leistungen berechnen willst: k. Zahlen
    miteinander multiplizieren

wie ich komplexe Zahlen multipliziere ist eigentlich klar, nämlich nach diesem Schema: (a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi-bd = ac - bd + (ad + cb)i . Doch wenn ich die Leistung berechnen will, brauche ich doch eigentlich nur Stromstärke, Spannung, sowie cos phi. Weshalb muss ich dazu komplexe Zahlen multiplizieren?

Vielen Dank nocheinmal, deine Antwort hat mir sehr geholfen,
Carsten

Hallo,

wie ich sehe, bist Du auf dem richtigen Weg. Hast Du Dir schon ein paar wilde Schaltungen ausgedacht? Folgendes kannst Du mal probieren: Eine RLC-Serie parallel zu einer zweiten RLC-Serie, wobei die Rs und die Cs gleiche Werte haben, aber ein L das 10fache des anderen ist. Dann siehst Du im Stromstärke-gegen-Omega-Plot (mach am besten einen sog. „Bode-Plot“, indem Du die Omega-Achse _logarithmisch_ skalierst) schön zwei Resonanzpeaks, von denen der niederfrequente schärfer ist.

Die „Komplexe-Zahlen-Rechen-Fähigkeiten“, über die Dein
Programm verfügen muß, besteht aus folgenden Funktionen:

  • komplexe Zahlen addieren

wenn ich das richtig sehe, brauche ich das primär für die
Reihenschaltung?

Sowohl für die Reihen- als auch die Parallelschaltung. In beiden Fällen steht in der jeweiligen Gleichung für den Gesamt-KWSW ein „+“.

  • den Kehrwert einer k. Zahl berechnen,

für die Leitwerte?

Ja. Irgendwo addieren sich da gewisse Einzel-Leitwerte zu einem gewissen Gesamt-Leitwert (Details bitte selbst recherchieren).

  • den Betrag einer k. Zahl berechnen,

für den Scheinwiderstand?

Ja, für die Impedanz. Mit „Scheinwiderstand“ muß man immer aufpassen, weil das Wort in zweierlei Bedeutung verwendet wird: 1. Als Synonym zu „Impedanz“ (die stets eine reelle Größe ist, denn sie ist ja der Betrag des KWSWs), und 2. als Synonym zum komplexen Wechselstromwiderstand. Die Begriffe Impedanz und komplexer W.stromwiderstand sind dagegen eindeutig.

  • den Phasenwinkel einer k. Zahl berechnen.

für die Phasenverschiebung?

Ja.

Doch wenn ich die Leistung berechnen will,
brauche ich doch eigentlich nur Stromstärke, Spannung, sowie
cos phi. Weshalb muss ich dazu komplexe Zahlen multiplizieren?

Du mußt es nicht. Die benötigte Formel ist

P = 1/2 U^ I^ cos(phi)

bzw. mit den Effektivwerten formuliert

P = Ueff Ieff cos(phi).

Darin geht es rein reell zu: U^ = reelle Spannungsamplitude, I^ = reelle Stromamplitude, sowie phi = Phasenverschiebung zwischen U und I. Komplex multipliziert wird in dem Ausdruck, der „hinter“ den beiden obigen Formeln steht, und den ich im Kopf hatte, nämlich

1/2 Re(U^ * I^).

Dies ist allgemein die Leistung, die ein linearer Zweipol im zeitlichen Mittel dissipiert (= in Wärme verbrät). Das „Re“ ist der Realteil, U^ die komplexe Amplitude der an dem Zweipol anliegenden Spannung, und I^ die komplexe Amplitude des fließenden Stroms. Das „U^ * I^“ ist also ein Komplexe-Zahlen-Produkt.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Hallo,

da irrst Du Dich leider, denn der Wirkwiderstandsanteil einer
RC-Parallelschaltung ist nicht gleich R.

Doch, denn laut Definition ist das derjenige Widerstand, bei dem Strom und
Spannung in Phase sind. Man kann es ja auch über die Leitwerte machen: Bei
Parallelschaltung addieren sich diese vektoriell zum Scheinleitwert. Der
Wirkleitwert ist 1/R, und davon der Kehrwert ist wiederum der Wirkwiderstand R.

Natürlich ist im Gegensatz zur Serienschaltung der Gesamtstrom zum Wirkstrom
phasenverschoben, das ändert aber nichts an der Tatsache, dass nur am Widerstand
R auch eine Wirkleistung umgesetzt wird, nirgends anders.

Gruß

Dieter

Hallo,

„150 Ohm“ ist schon falsch. Der Wirkwiderstand einer
RC-Parallelschaltung ist nicht gleich dem Wert von R (dies
trifft auf eine RC-Serienschaltung zu, aber nicht auf eine
Parallelschaltung!), sondern gegeben durch R/(1 + (w R C)^2).

Nein, das stimmt nicht. Dein hier angegebener Term entspricht fast dem
Scheinleitwert. Fast deswegen, weil der Nenner noch radiziert werden muss.

Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

Diese Werte dürften ebenfalls nicht korrekt sein.

Doch, sind sie. Ich kann ja den Scheinleitwert einfach durch vektorielle Addition
der beiden Komponentenleitwerte bilden, also aus Blindleitwert wC und
Wirkleitwert 1/R. Nimmt man die Zahlen von oben, so ergibt sich ein
Scheinleitwert, und davon der Kehrwert ist der Scheinwiderstand. Kommt man auf
ca. 135,7 Ohm.

Gruß

Dieter

Hallo,

„150 Ohm“ ist schon falsch. Der Wirkwiderstand einer
RC-Parallelschaltung ist nicht gleich dem Wert von R (dies
trifft auf eine RC-Serienschaltung zu, aber nicht auf eine
Parallelschaltung!), sondern gegeben durch R/(1 + (w R C)^2).

Nein, das stimmt nicht.

Doch, das stimmt!

Blindwiderstand: -318,30 Ohm
Scheinwiderstand: 135,68877 Ohm

Diese Werte dürften ebenfalls nicht korrekt sein.

Doch, sind sie.

Der Wert von 135.68877 Ohm für den Scheinwiderstand ist tatsächlich korrekt.

Ich kann ja den Scheinleitwert einfach durch vektorielle Addition
der beiden Komponentenleitwerte bilden, also aus Blindleitwert
wC und Wirkleitwert 1/R.

Ich erhalte für den komplexen Leitwert:

Y = 1/R + 1/(i/(wC)) = 1/R – iwC

–>
Wirkleitwert = Re(Y) = 1/R;
Blindleitwert = Im(Y) = –wC.

Der Scheinleitwert ergibt sich zu

|Y| = sqrt(1+(wRC)²)/R

Für den komplexen Widerstand erhalte ich:

Z = 1/Y = R/N + i wR²C/N

wobei N = 1+(wRC)²

–>
Wirkwiderstand = Re(Z) = R/N;
Blindwiderstand = Im(Z) = wR²C/N.

Der Scheinwiderstand ergibt sich zu

|Z| = R/sqrt(1+(wRC)²)

Es gilt also sowohl Z = 1/Y (komplex!) als auch |Z| = 1/|Y| (betragsmäßig!).

Was Du hier sagst (kopiert aus Deiner Antwort weiter unten)…

Wirkleitwert ist 1/R, und davon der Kehrwert ist wiederum der
Wirkwiderstand R.

…gilt jedoch nicht, denn der Realteil des Kehrwerts irgendeiner komplexen Zahl z ist nicht identisch mit dem Kehrwert des Realteils von z: Re(1/z) != 1/Re(z)

Doch, denn laut Definition ist das derjenige Widerstand, bei dem
Strom und Spannung in Phase sind.

Wo hast Du diese Definition her? Für einen RLC-Serienkreis trifft das zu, aber den Wirkwiderstand allgemein so zu definieren, brächte das Problem mit sich, daß es bei geeigneter Zusammenschaltung genügend vieler Rs, Ls und Cs mehrere ws geben kann, wo Strom und Spannung in Phase sind (mit jeweils verschiedenen Stromstärken).

Meine Definition steht oben schon: Der Wirk[Blind]widerstand ist der Real[Imaginär]teil des komplexen Wechselstromwiderstands; der Wirk[Blind]leitwert ist der Real[Imaginär]teil des komplexen Wechselstromleitwerts. Vgl. auch z. B. Wikipedia unter Impedanz/Wirkwiderstand/Blindwiderstand.

Natürlich ist im Gegensatz zur Serienschaltung der Gesamtstrom zum
Wirkstrom phasenverschoben

In der Zuleitung zur Quelle fließt ein Strom, der irgendeine Phasenverschiebung zur Quellenspannung aufweist. Man kann ihn additiv zerlegen in einen Teil, der mit der Spannung in Phase ist, und einen Teil, der ggü. der Spannung um 90° verschoben ist. Der erste Teil ist der Wirkstrom, der zweite der Blindstrom. Das ist ganz unabhängig von der Art der Schaltung (Serie/Parallel).

Gruß
Martin

Hallo,

ich sehe schon, in der Nacht wird komplex gerechnet. :wink:

Z = 1/Y = R/N + i wR²C/N

wobei N = 1+(wRC)²

Diese Gleichungen sind formal richtig, und ich komme auf dasselbe Ergebnis für den Realteil bzw. den Wirkwiderstand. Doch welche Spannung nimmst Du dann, um die Wirkleistung zu berechnen? Das kann nicht die Gesamtspannung an der Parallelschaltung sein.

Was man hier bei der Kehrwert-Bildung des komplexen Leitwerts tut, ist eigentlich nichts anderes als umzurechnen auf ein RC-Gebilde als Serienschaltung. Und daran fällt natürlich auch eine andere (geringere) Spannung ab, damit dann das Endergebnis für die Wirkleistung wieder stimmt. Übrigens ist dann der Imaginäranteil schlicht und einfach der Kondensator der stellvertretenden Serienschaltung (stellvertretend = gleiche äußere Gesamteigenschaften wie Parallelschaltung, wenn man nur eine Black-Box hätte). Und der ist ebenfalls ein anderer als der der Parallelschaltung. Nur eben insgesamt nach außen hin ist das Ganze wieder gleich, deshalb auch derselbe Scheinwiderstand. Die errechneten Serienanteile sind beide frequenzabhängig, d. h. die Umrechnung beruht stets auf eine definierte Frequenz.

Übrigens kann man auch den umgekehrten Weg gehen und von einer RC-Serienschaltung die bei der Parallelschaltung stellvertretenden Wirk- und Blindleitwerte berechnen. Nur gilt dann für diese auch nicht der gleiche Strom wie beim Seriengebilde. Stattdessen kann man die Gesamtspannung nehmen (im oberen Fall den Gesamtstrom).

Von der Definition her hast Du sicher Recht, wenn nun der Wirkwiderstand stets der Realteil des komplexen Widerstandes ist, egal welche Schaltung. Allerdings muss dann der Anwender einer Berechnung auch wissen, dass er zur Berechnung der Wirkleistung immer auch den Realteil der komplexen Spannung einsetzen muss und nicht einfach die äußere Spannung.

Gruß

Dieter

Hallo,

wie ich sehe, bist Du auf dem richtigen Weg. Hast Du Dir
schon ein paar wilde Schaltungen ausgedacht? Folgendes kannst
Du mal probieren: Eine RLC-Serie parallel zu einer zweiten
RLC-Serie, wobei die Rs und die Cs gleiche Werte haben, aber
ein L das 10fache des anderen ist. Dann siehst Du im
Stromstärke-gegen-Omega-Plot (mach am besten einen sog.
„Bode-Plot“, indem Du die Omega-Achse _logarithmisch_
skalierst) schön zwei Resonanzpeaks, von denen der
niederfrequente schärfer ist.

Vielen Dank für die Tipps, ich weiß jedoch noch nicht wie weit ich mit dem Programm noch gehen kann, da mein Abgabetermin näher rückt und ich auch eine 8-12 seitige Dokumentation schreiben muss, aber wenn Zeit bleibt werde ich deine Vorschläge mit großem Dank beherzigen.

Beim von dir genannten Stromstärke-gegen-Omega-Plot würde ich also Stromstärke auf der Y-Achse und die Kreisfrequenz auf der logarithmisch skalierten X-Achse darstellen?

Mit der Resonanz habe ich mich in diesem Zusammenhang noch nicht beschäftig, da ich zunächst ersteinmal dafür sorgen wollte, dass die Widerstandsberechnungen richtig funktionieren, was sie jetzt anscheinend tun.
Ich hatte schon vor meiner Anfrage hier im Forum einen Datentyp erstellt, der die komplexe Zahl aufnimmt, sodass ich jetzt nur noch eine Funktion zum addieren und eine zur Bildung des Kehrwertes schreiben brauchte.

Ich werde also jetzt noch ein wenig Richtung Resonanz weiter"forschen", vielen Dank für die erneut so schnelle Antwort,
Carsten

Hallo,

ich sehe schon, in der Nacht wird komplex gerechnet. :wink:

heute sogar schon am frühen abend… *g*

Z = 1/Y = R/N + i wR²C/N

wobei N = 1+(wRC)²

Diese Gleichungen sind formal richtig, und ich komme auf
dasselbe Ergebnis für den Realteil bzw. den Wirkwiderstand.
Doch welche Spannung nimmst Du dann, um die Wirkleistung zu
berechnen? Das kann nicht die Gesamtspannung an der
Parallelschaltung sein.

Für den Fall eines einzigen ohmschen Widerstands (Widerstandswert R Leitwert G) berechnet sich die Wirkleistung gemäß

(1) P = Ueff²/R
(2) P = Ieff² R
(3) P = Ueff² G
(4) P = Ieff²/G

Für einen linearen Zweipol (komplexer Wechselstromwiderstand Z komplexer Leitwert Y) verallgemeinert sich

(2) zu P = Ieff² Re(Z)
(3) zu P = Ueff² Re(Y)

Hier tritt also einfach an die Stelle des Widerstandes R der Wirkwiderstand Re(Z), und an die Stelle des Leitwertes G der Wirkleitwert Re(Y), und fertig.

Aber : (1) verallgemeinert sich nicht zu P = Ueff²/Re(Z) und (2) verallgemeinert sich nicht zu P = Ieff²/Re(Y)!

Die korrekten Verallgemeinerungen lauten vielmehr:

(1) P = Ueff² Re(Z) / |Z|²
(4) P = Ieff² Re(Y) / |Y|²

Wie Du siehst, stehen hier die "Re"s gerade wieder „brav“ im Zähler, und das gibt auch intuitiv Sinn, wenn man an die bereits erwähnte „Re(1/z) != 1/Re(z) -Problematik“ denkt (ich wüßte auch sonst keine Formel, in der ein einzelnes „Re(…)“ oder ein einzelnes „Im(…)“ im Nenner steht).

Der Vollständigkeit halber: Alle obigen (1) bis (4) mit „Im“ statt „Re“ ergeben die Blindleistung Q – klar.

Rechnest Du (1) für die RC-Parallelschaltung aus (kannst Du im Kopf machen), dann bekommst Du gerade P = Ueff²/R, wie erwartet, aber trotzdem ist der Wirkwiderstand Re(Z) einer RC-Parallelschaltung wie gesagt nicht gleich R, sondern gleich R/(1+(wRC)²). Hier darf man sich also nicht verwirren lassen.

Was man hier bei der Kehrwert-Bildung des komplexen Leitwerts
tut, ist eigentlich nichts anderes als umzurechnen auf ein
RC-Gebilde als Serienschaltung.

Ja, in diesen Abschnitten formulierst Du eigentlich das oben Gesagte, nur in etwas anderer Verpackung.

Gruß
Martin

Hallo,

Beim von dir genannten Stromstärke-gegen-Omega-Plot würde ich
also Stromstärke auf der Y-Achse und die Kreisfrequenz auf der
logarithmisch skalierten X-Achse darstellen?

genau. Stell 1/|Z| auf der Y-Achse dar; der Graph gibt dann den Scheinstrom an (der ist ja proportional zu 1/|Z|). Zu einem vollständigen Bode-Plot gehört auch noch die U/I-Phasenverschiebung, die durch phi = arctan(Im(Z)/Re(Z)) gegeben ist. Die logarithmische Skalierung der w-Achse ist dringend zu empfehlen, auch wenn die Umrechnung der Pixelkoordinaten in die zugehörigen w-Werte schwieriger ist. Bei linearer Skalierung würden z. B. Resonanzpeaks gar nicht als „Buckel“ oder „Nadeln“, sondern stark asymmetrisch („sägezahn“-förmig) erscheinen. Und was würdest Du machen, wenn Du eine Schaltung mit zwei Peaks hast, von denen einer bei 0.001 Hz und der andere bei 10 kHz liegt?

Zwei weitere aufschlußreiche Größen wären der Leistungsfaktor (= Re(Z)/|Z|; bestimmt den Wirkstrom und die Wirkleistung) und der Blindfaktor (= Im(Z)/|Z|; bestimmt den Blindstrom und die Blindleistung).

Die Größen Wirk[Blind]widerstand[leitwert], also Re(Z), Im(Z), Re(1/Z) und Im(1/Z) sind dagegen weniger interessant.

Mit der Resonanz habe ich mich in diesem Zusammenhang noch
nicht beschäftig,

Stell Dir einen RLC-Serienkreis vor. Bei sehr hohen ws ist die Spule „undurchlässig“; es fließt kaum ein Strom. Bei sehr kleinen Frequezen ist dagegen der Kondensator „undurchlässig“; es fließt ebenfalls kaum ein Strom. Bei irgendeinem w „in der Mitte“ (das durch L und C bestimmt ist; siehe „Thomsonsche Schwingkeisformel“), sind sowohl der Kondensator als auch die Spule gerade so „halb durchlässig“, daß der fließende Strom dort maximal ist. Dieses w ist das „Resonanz-w“. Die Stromkurve I(w) hat dort einen – in Abhängigkeit von R mehr oder weniger stark ausgeprägten – „Buckel“.

Mit freundlichem Gruß
Martin

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Hallo Martin,

ich sehe schon, in der Nacht wird komplex gerechnet. :wink:

heute sogar schon am frühen abend… *g*

Es ist wie eine Sucht…

Rechnest Du (1) für die RC-Parallelschaltung aus (kannst Du im
Kopf machen), dann bekommst Du gerade P = Ueff²/R, wie
erwartet, aber trotzdem ist der Wirkwiderstand Re(Z) einer
RC-Parallelschaltung wie gesagt nicht gleich R, sondern gleich
R/(1+(wRC)²). Hier darf man sich also nicht verwirren lassen.

Trotzdem muss ich hier noch einen Satz loswerden: Bei dieser Umrechnung auf die Serienersatzschaltung ist der berechnete Wirkwiderstand nicht der physische. Deswegen sträube ich mich ein bisschen dagegen. Und: Dieser berechnete Wirkwiderstand verändert sich mit der Frequenz, was der physische wiederum auch nicht tut.

Gruß

Dieter

Hallo Dieter,

Bei dieser Umrechnung auf die Serienersatzschaltung ist der berechnete
Wirkwiderstand nicht der physische. Deswegen sträube ich mich
ein bisschen dagegen.

Überwinde Deine Abneigung :wink:. Das, was Du „physischer Wirkwiderstand“ nennst, kannst Du nur bei bestimmten sehr einfachen Zusammenschaltungen „dingfest“ machen. Schon bei der Schaltung „R in Serie mit (R parallel C)“ wirst Du die Frage, was dort ein „physischer“ Wirkwiderstand sein soll, nicht beantworten können. Die „Wirkwiderstand = Re(Z)“-Definition ist dagegen ganz allgemein, d. h. greift auch bei einer Kreuz-und-quer-Zusammenschaltung aus 5 Rs, 4 Cs und 3 Ls.

Die Formeln [im folgenden N = 1 + (wRC)²]

Wirk widerstand (RC-Serie) = R
BlindW(RC-Serie) = 1/(w C)

WirkW(RC-Par) = R/N
BlindW(RC-Par) = R²wC/N

sind nur deshalb „unschön asymmetrisch“ (Wirkwiderstand der RC-Serie frequenzunabhängig, aber der von RC-Parallel nicht?), weil sie nur die halbe Wahrheit sind. Bei Hinzunahme der anderen vier, nämlich der Leitwert-Formeln…

Wirk leitwert (RC-Serie) = R(wC)²/N
BlindLW(RC-Serie) = wC/N

WirkLW(RC-Par) = 1/R
BlindLW(RC-Par) = wC

…kommt die Symmetrie der Angelegenheit zum Vorschein: Das „Gegenstück“ zum frequenzunabhängigen Wirk_widerstand_ der RC-Serie ist der frequenzunabhängige Wirk_leitwert_ von RC-Parallel.

Ich gebe allerdings zu, daß der frequenzabhängige Wirkwiderstand (Re(Z)) der RC-Parallelschaltung tatsächlich etwas „kontraintuitiv“ ist. Aber die Irrationalität gehört ja auch zu jeder anständigen Sucht *g*.

Mit freundlichem Gruß
Martin

Hallo,
bin einfach nur begeistert mit welcher Aufopferung mir hier geholfen wird. So laut kann ich gar nicht „Danke“ schreien, wie es angebracht wäre.

Zwei weitere aufschlußreiche Größen wären der Leistungsfaktor
(= Re(Z)/|Z|; bestimmt den Wirkstrom und die Wirkleistung) und
der Blindfaktor (= Im(Z)/|Z|; bestimmt den Blindstrom und die
Blindleistung).

Den Leistungsfaktor kenne ich als cos phi, unterscheidet sich dieser von dem von dir genannten?
Die Sache mit dem Blindfaktor ist mir neu, das werde ich auf jeden Fall noch einbauen, genau wie den Bode-Plot, gute Ideen bekommt man hier genannt, die man in den Büchern einfach nicht findet, bzw. von denen ich nicht weiß das sie existieren und in diesem Zusammenhang wichtig/von Interesse sind.

Ich hatte den Eindruck, dass dir auch die Programmierung nicht völlig fremd zu sein scheint, deshalb habe ich nachfolgend die von mir geschriebenen Funktionen geposted, die ich im Programm verwendet habe.
den Datentyp „komplex“ habe ich selbst erstellt, er enthält nur den reellen und den imaginären Anteil der jeweiligen komplexen Zahl.
Es geht mir nur darum ein Feedback zu erhalten, ob man vll etwas verbessern könnte, ich möchte keinesfalls irgendjemanden um fertige Lösungen „anschorren“, denn das bringt mich selbst nicht weiter.

_function Betrag(k:komplex):Extended;
begin
result := sqrt(k.re*k.re+k.j*k.j);
end;

function kkwert(k:komplex):komplex;
var
temp: komplex;
begin

if (sqr(k.re)+sqr(k.j)) 0 then
begin
temp.re := k.re/(sqr(k.re)+sqr(k.j));
temp.j := -k.j/(sqr(k.re)+sqr(k.j));
end
else
begin
temp.re := 0;
temp.j := 0;
end;

result := temp;
end;

function add(k1,k2:komplex):komplex;
var
temp: komplex;
begin

temp.re := k1.re + k2.re;
temp.j := k1.j + k2.j;

result := temp;
end;_

Den Widerstand der Parallelschaltung berechne ich anschließend anhand dieser Funktionen folgendermaßen:

kkwert(add(kkwert(T1),kkwert(T2)))

Würde mich interessieren, ob jemand einen Vorschlag hat, der vll besser funktioniert, aber ich dachte, dass man mit diesen Funktionen, sowie dem Datentyp relativ gut umgehen kann, aber auf Verbesserungsvorschläge freue ich mich schon jetzt *G*,
vielen Dank erneut,
Carsten

Hallo,

Zwei weitere aufschlußreiche Größen wären der Leistungsfaktor
(= Re(Z)/|Z|; bestimmt den Wirkstrom und die Wirkleistung) und
der Blindfaktor (= Im(Z)/|Z|; bestimmt den Blindstrom und die
Blindleistung).

Den Leistungsfaktor kenne ich als cos phi, unterscheidet sich
dieser von dem von dir genannten?

mal irgendeine komplexe Zahl z als Pfeil in ein Koordinatensystem. phi = Winkel gegen die Re-Achse. Fälle das Lot von der Pfeilspitze auf die Re-Achse. Suchbild: Wo ist das rechtwinklige Dreieck, dessen Gegenkathete/Ankathete/Hypothenuse die Länge Re(z) / Im(z) / |z| hat? _Siehst_ Du, daß Re(z)/|z| = cos phi gilt, und warum? Genau, es ist nichts weiter als die cos-Definition. Im(z)/|z| = sin phi und Im(z)/Re(z) = tan phi analog.

Die Sache mit dem Blindfaktor ist mir neu, das werde ich auf
jeden Fall noch einbauen,

Wobei Du den Blindfaktor durchaus auch weglassen kannst, sofern Du den Leistungsfaktor ausgibst. Wegen sin² + cos² = 1 sind diese beiden Größen nicht unabhängig voneinander, d. h. wenn ich Dir einen Leistungsfaktor nenne, kannst Du immer ausrechnen, wie groß der Blindfaktor ist, u. u.

Der Leistungsfaktor ist eine wichtige Information, weil er ein Maß dafür ist, wieviel von der gesamten im Spiel befindlichen Energie (= von der Quelle zum Verbraucher transportierte E. + zwischen V und Q hin und her pendelnde E.) dem Verbraucher zufließt. Nur Wirkleistung ist wirtschaftlich. Blindströme dagegen sind keineswegs „neutral“, wie man vielleicht denken könnte, sondern äußerst unökonomisch. Der Grund dafür ist, daß die Leitungen, über die sie laufen, Wirkwiderstand haben. Deshalb erzeugt jedes Ampere Blindstrom, das von einem „schlechten“ Verbraucher verursacht wird, in jedem Meter der Leitung zwischen dem Verbraucher und dem Kraftwerk Wirkleistung, für die im Kraftwerk die entsprechende Menge Kohle mehr verbrannt werden muß. Je näher der cos phi eines Verbrauchers an 1 liegt, desto weniger Kohle muß für ihn nutzlos verfeuert werden. Über Glühbirnen und Herdplatten freuen sich Kraftwerke sehr (cos phi = 1), über Motoren dagegen nicht ganz so doll: Ihr cos phi liegt unter 1, weil ihre Wicklungen neben ihrem ohmschen Widerstand leider auch eine beträchtliche Induktivität besitzen. Wenn Du das nächste mal einen Industriemotor siehst, studier mal das Typenschild: dort ist immer der Leistungsfaktor vermerkt („cos phi = 0.78“). Der Blindstromanteil von Haushalten ist so gering, daß dem Energieversorger das Schnuppe ist: der E-Zähler im Keller registriert von vornherein nur die Wirkleistung. Großabnehmer mit zu kleinem cos phi bekommen jedoch einen erhöhten Tarif berechnet.

den Datentyp „komplex“ habe ich selbst erstellt, er enthält
nur den reellen und den imaginären Anteil der jeweiligen
komplexen Zahl.

Das ist OK.

function Betrag(k:komplex):Extended;
begin
result := sqrt(k.re*k.re+k.j*k.j);
end;

Real- und Imaginärteile werden üblicherweise einfach mit „a“ und „b“ bezeichnet („z = a + i b“).

function kkwert(k:komplex):komplex;
var
temp: komplex;
begin

if (sqr(k.re)+sqr(k.j)) 0 then
begin
temp.re := k.re/(sqr(k.re)+sqr(k.j));
temp.j := -k.j/(sqr(k.re)+sqr(k.j));
end
else
begin
temp.re := 0;
temp.j := 0;
end;

result := temp;
end;

Du läßt drei mal sqr(k.re)+sqr(k.j) ausrechnen? Rechne es einmal aus und speichere das Ergebnis in einer reellen Hilfsvariablen zwischen.

Statt „sqr“ kannst Du auch „*“ verwenden (wie bei der Funktion „Betrag“). Es bringt keine Nachteile mit sich; der erzeugte Code ist gleich (FPU-Befehl „fmul“).

temp ist unnötig, Du kannst problemlos direkt an result zuweisen (ist gängige Praxis).

Ansonsten paßt das. Logisch gesehen ist der Code, soweit ich es überblickt habe, korrekt.

Den Widerstand der Parallelschaltung berechne ich anschließend
anhand dieser Funktionen folgendermaßen:

kkwert(add(kkwert(T1),kkwert(T2)))

Exakt. Und wie codierst Du eine Parallelschaltung aus _drei_ Elementen?

Mit freundlichem Gruß
Martin

PS: Programmcode hier am besten in das "pre"-Tag einschließen. 
Er erscheint dann in Courier-Schrift und 
 Einrückungen 
bleiben erhalten.

Hallo Martin,

Überwinde Deine Abneigung :wink:. Das, was Du „physischer
Wirkwiderstand“ nennst, kannst Du nur bei bestimmten sehr
einfachen Zusammenschaltungen „dingfest“ machen. Schon bei
der Schaltung „R in Serie mit (R parallel C)“ wirst Du die
Frage, was dort ein „physischer“ Wirkwiderstand sein soll,
nicht beantworten können.

Genau diesen Einwand habe ich erwartet. Wir sprachen bis jetzt aber nur von der ‚einfachen‘ Parallelschaltung. Ein Beispiel dafür ist, wenn man den Wellenwiderstand einer Leitung mit Abschluss berechnen möchte. Hier wird auf jeden Fall dieser physische Wirkwiderstand als Parallelwiderstand auftauchen und nicht der auf Serienschaltung transponierte.

Trotz meiner (mittlerweile reduzierten) Zweifel an der Sinnhaftigkeit dieser Umrechnung (ich zweifle natürlich nicht am Rechengang) muss ich sagen, dass ich dadurch gelernt habe. Aber ich finde, man muss hier, falls möglich, immer neben der verfahrenstreuen Rechenmethodik auch noch versuchen, Ergebnisse zu diskutieren und zu interpretieren.

Gruß

Dieter

Hallo,

Exakt. Und wie codierst Du eine Parallelschaltung aus _drei_
Elementen?

genau dieser Fall ist mir im Prinzip von der „überwachenden“ Lehrkraft „verboten“ worden *g*. (Immer wenn’s anfängt Spaß zu machen…)
Ich hatte eine solche Programmvariante aber schon begonnen und dachte mir das so:
man erstellt die Widerstände als Objekt, das den komplexen Widerstand, sowie die anzeigetechnischen Details und Informationen darüber, welche anderen Widerstände/Spulen/Kondensatoren mit dem linken/rechten Verbindungspunkt verbunden sind als Eigenschaft enthält.
Zum ermitteln des „Schaltungstyps“ werden somit nur die „Knotenpunktinformationen“ abgespeichtert, anschließend lässt sich daraus berechnen, welche Bauteile wie verdrahtet sind.
Die Funktion zur Berechnung des parallelen Widerstandes würde ich dann einfach so gestalten, dass ich die Anzahl der Parameter variabel gestalte. Analog dazu würde ich das bei der Reihenschaltung ebenfalls so machen.
Ein Schaltungsgebilde kann natürlich auch aus Kombinationen bestehen, somit würde ich eine Art „iterative Widerstandsbestimmung“ vorschlagen.
Man berechnet also den Ersatzwiderstand einer Reihen-/Parallelschaltung innerhalb der Gesamtschaltung, und vereinfacht die Schaltung somit Schrittweise, bis man nur noch einen Widerstand hat.

Ich hoffe das ist einigermaßen logisch, nachvollziehbar und vll auch ein wenig richtig…
Vielen Dank,
Carsten