Hallo!
Also mein Mathelehrer sagte heute, dass Wissenschaftler sagen, zwei parallele Geraden schneiden sich im unendlichem Raum doch irgendwann? Hä? Na ich lernte mal, zwei Geraden sind dann parallel, wenn sie in zwei verschiedenen Punkten einer Geraden genau den gleichen Abstand haben, soll heißen, sich nie schneiden! Und nun dass… war ich verwirrt!
Kennt jemand diese Behauptung und kann mir vielleicht auch noch plausibel erklären, wie es dazu kommt?
Danke
Tom
Hi Thomas,
zwei parallele Geraden schneiden sich im unendlichem Raum doch
irgendwann? Hä? Na ich lernte mal, zwei Geraden sind dann
parallel, wenn sie in zwei verschiedenen Punkten einer Geraden
genau den gleichen Abstand haben, soll heißen, sich nie
schneiden! Und nun dass… war ich verwirrt!
Kennt jemand diese Behauptung und kann mir vielleicht auch
noch plausibel erklären, wie es dazu kommt?Danke
Tom
eine Definition für unendlich lautet:
unendlich ist größer als jede noch so große denkbare Zahl.
Somit auch größer als jeder noch so große denkbare Wert. Solange sich zwei Parallelen vorher, also bei denkbaren Größen nicht schneiden, soll mir das egal sein. Dahin, wo Parallelen sich schneiden, komm ich nie, auch nicht gedanklich.
Gruß
Pat
Hi Tom!
Die Verwirrung stammt von der Unterschiedlichkeit der Anschauung und mathematischer Definitionen.
Um Objekte wie Geraden und Punkte iner Ebene untersuchen zu können, mußten sich die Mathematiker - wie stets - von der Anschauung lösen. Sie definierten also eine Menge aus Punkten und Geraden als affine Inzidenzebene, wenn gilt:
A1. Zu je zwei Punkten existiert nur genau eine Gerade, die beide Punkte enthält.
A2. Zu jeder Geraden gibt es einen Punkt, der nicht zur Geraden gehört.
A3. Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P (nicht von g) gibt es eine Gerade h, die P enthält und mit g keinen Punkt gemeinsam hat (Parallele zu g durch P).
Aber wie es nunmal so war, störte es die Methematiker, zwischen sch schneidenden und parallelen Geraden unterscheiden zu müssen.
Also fügten sie schlau jeder Geraden einen Punkt hinzu, den uneigentlichen Punkt und die Menge aller uneigentlichen Punkte nannten sie uneigentliche Gerade.
Dadurch schufen sie eine projektive Inzidenzebene mit folgenden Axiomen:
P1. Zu je zwei Punkten existiert nur eine Gerade, die beide Punkte enthält.
P2. Zu je zwei Geraden gibt es einen Punkt, den beide enthalten.
P3. Es gibt vier Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen.
Betrachte man nun einmal P1 und A1. Während bei A1 steht, daß es genau eine Gerade gibt, ist das bei P1 nicht der Fall, es kann also mehrere Geraden geben, die beide Punkte enthalten. Dies ist möglich, weil mit der in der Anschauung fest verankerten Vorstellung, daß eine Gerade eine ungekrümmte Linie zu sein hätte, gebrochen wurde. (Dies sieht man auch an der Definition der uneiegentlichen Geraden.)
Dadurch löst sich deine Frage auf: Es handelt sich um verschiedene Räume, die konstruiert wurden. sie ähneln sich sehr stark und können ineinander überführt werden, sind aber nichtr dasselbe!
Dieser Sachverhalt, daß sich die Geraden just im Unendlichen treffen, liegt nur daran, daß die uneigentlichen Punkte zwar einen Namen, aber keine bestimmte Koordinate zu haben brauchen. Und dafür ist die Unendlichkeit bestens geeignet!
Gruß
Tyll