Poincaré-Vermutung

hi,

ich habe gerade bei stern.de einen kurzen bericht darüber gelesen.

nun weiß ich nicht wie ich mir oder was ich mir bei vierdimensionalen gegenständen vorstellen kann.

danke für die antwort.

hi,

ich habe gerade bei stern.de einen kurzen bericht darüber
gelesen.

nun weiß ich nicht wie ich mir oder was ich mir bei
vierdimensionalen gegenständen vorstellen kann.

jeder gegenstand ist vieldimensional.
du hast 3 dimensionen (länge, breite, höhe; oder die 3 polarkoordinaten des raums), um seine räumliche ausdehnung zu beschreiben; du hast eine dimension („zeit“), um dazu noch (und mit den ersten 3 koordinaten) seine „geschichte“ (wachstum, schrumpfen, formveränderungen) zu beschreiben. (ohne „zeit“ ist jeder gegenstand nur eine augenblickliche erscheinung, völlig statisch.) du kannst weitere dimensionen zuziehen, um farbe, temperatur usw. usf. zu beschreiben.

hth
m.

jeder gegenstand ist vieldimensional.

ich fürchte, das hilft nicht wirklich… außerdem meint man, wenn man von einem n-dimensionalen gegenstand spricht, n raumdimensionen, ohne zeitdimension. sozusagen eine augenblickliche erscheinung des n-raumdimensionalen gegenstandes…

die antwort ist: man kann es sich nicht wirklich vorstellen. wir sehen dreidimensional, wir denken dreidimensional. weniger ist kein problem, aber mehr können wir uns nicht vorstellen, weil wir dazu die mehr als drei dimensionen in unsere dreidimensionale vorstellung zwängen müßten… wenn wir uns vier dimensionen vorstellen könnten, könnten wir uns auch fünf, sechs, 207 oder egal wie viele vorstellen…

Hallo!

die antwort ist: man kann es sich nicht wirklich vorstellen.
wir sehen dreidimensional, wir denken dreidimensional.

Wir sehen sogar nur zweidimensional, da die Netzhaut unseres Auges ein zweidimensionales Gebilde ist. Es ist eine enorme Leistung unseres Gehirns, aus zwei zweidimensionalen Projektionen einen dreidimensionalen Sinneseindruck zu erzeugen. Dass aber dieser Sinneseindruck nicht eine wirkliche Repräsentation der Umgebung, sondern sozusagen ein Artefakt ist, sieht man an Hologrammen und Magic-Eye-Abbildungen, d. h. an zweidimensionalen Objekten, die in unserem Gehirn ein dreidimensionales Bild erzeugen.

Gruß, Michael

hi,

jeder gegenstand ist vieldimensional.

ich fürchte, das hilft nicht wirklich… außerdem meint man,
wenn man von einem n-dimensionalen gegenstand spricht,
n raumdimensionen, ohne zeitdimension. sozusagen eine
augenblickliche erscheinung des n-raumdimensionalen
gegenstandes…

ich fürchte auch … nämlich dass bei poincare letztlich gar keine raumdimensionen, sondern lediglich mathematische koordinaten gemeint sind. vorstellen kann man sich das (für n > 3) entweder räumlich gar nicht (wie du sagst, d’accord) oder irgendwie, indem man sich mit zeit usw. behilft.

überhaupt ist es sehr oft der fall, dass die theoretischen physiker mit einem scheinbar anschaulichen begriff (wie hier „dimension“) letztlich bloß eine abstrakte mathematische größe meinen.

m.

Auch hallo.

Mit dem Beweis dieser Vermutung könnte man ja einiges an Geld verdienen.
Aber Herr hier will ja nicht: http://de.news.yahoo.com/21082006/3/mathematiker-per…

mfg M.L.

Hallo,

das „Problem“ hier ist, dass es um Fragestellungen der Topologie und Geometrie in höheren Dimensionen geht, also schon mehr als bloße aufgezählte algebraische Dimensionen. Also es geht um so Fragestellungen wie man „Knoten“ klassifizieren kann, die nicht aus Kurven (1-D-Mannigfaltigkeiten) gemacht werden, sondern ihrerseits von mehrdimensionalen Gebilden. Der Trick ist natürlich, dass man sich (anders als in vielen anderen Bereichen der Topologie/Geometrie) mit dem Verständnis leichter tut, wenn man gar nicht erst versucht die Dinge bildlich zu verstehen, das verwirrt nur.
Das Thema um das es geht ist allerdings schon ganz gut verständlich, weil die n-dimensionale Einheitsspähre (zumindest für Mathematiker) ein einigermaßen handhabbares Objekt ist. Außerdem muss man, wenn man denn unbedingt einen visuellen Eindruck braucht, die 3-Sphäre ja nicht unbedingt als Rand der 4-dimensionalen Kugel betrachten (obwohl das eigentlich der Witz ist).
Ansonsten behelfen sich die algebraischen Topologen häufig mit Hilfskonstrukten, die die Dimension hochschrauben. Beispiel: Man kreuze die Einheitskreislinie mit der ausgefüllten Einheitskreisscheibe, heraus kommt ein Torus (Donut). Aber eben diese Sichtweise hilft nicht weiter, wenn man die Geometrisierungen von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten klassifizieren will, damit deckt man nur einfache Spezialfälle ab.

Gruß,
mauschu

nun weiß ich nicht wie ich mir oder was ich mir bei
vierdimensionalen gegenständen vorstellen kann.

Es ist keine direkte Veranschaulichungshilfe, aber Gedankenspielerei in dieser Richtung, die vllt ein bisschen weiterhelfen kann.

Nehmen wir folgendes an:
Wir sind ein eindimensionales Wesen und leben in einer eindimensionalen Welt, also auf einer Geraden. Durch diese Welt wird nun ein ausgefüllter Kreis (oder Zylinder mit Höhe gleich null) geschoben. Was sehen wir nun? Erst einen Punkt, dann eine immer größe werdende Strecke, die ihre größte Länge hat, wenn der Durchmesser des Kreises erreicht ist. Danach schrumpft die Strecke wieder und verschwindet schließlich, wenn der Kreis komplett durch ist.
(streng genommen sieht das eindimensionale Wesen nur einen Punkt, da es Sachen, die auf es zukommen nicht richtig wahrnehmen kann. Um das zu umgehen, könne man sagen, dass man das Wesen von außen beobachten.)

Nun sind wir ein zweidimensionales Wesen auf einer Zweidimensionalen Welt, z.B. auf einem Rechteck. Nun wird eine ausgefüllte Kugel durch das Rechteck geschoben. Was sehen wir? Erst einen Punkt, dann einen immer größer werdenden Kreis, der sein Maximum beim Durchmesser der Kugel erreicht. Danach schrumpft der Kreis und verschwindet.(Wer sich das nicht vorstellen kann, könnte statt der Kugel eine Melone und statt der zweidimensionalen Welt ein Messer nehmen. Das Durchschieben könnte man betrachten, als wenn man ganz dünne Scheiben aus der Melone herausschnitte. Oben bekommt man ganz kleine, dann immer größere und dann wieder kleinere.)

Wegen dieser Beobachtungen drängt sich folgender Schluss auf:
Wenn man eine Form aus der ‚runden‘ Familie durch eine niedrigere Dimension schiebt, dann erscheint dies in dieser Dimension als eine immer größer und danach wieder kleiner werdenden Entsrpechung der Form in der niedrigeren Dimension.
Also liegt es nahe, dass wenn eine vierdimensionale Kugel durch einen dreidimensionalen Raum geschoben würde, wir erst einen Punkt und dann eine immer größer werdende Kugel sähen, die wiederum ihr Maximum beim Durchmesser der vierdimensionalen Kugel erreichen würde und dann bis zu ihrem Verschwinden immer kleiner würde.

Gedankenspielerei, aber sehr interessant.

Hallo Markus,

Mit dem Beweis dieser Vermutung könnte man ja einiges an Geld
verdienen. Aber Herr hier will ja nicht:
http://de.news.yahoo.com/21082006/3/mathematiker-per…

Ich liebe solche Menschen, sie stellen einen
gesunden Kontrast zum allgemeinen Wahnsinn dar.

Man kann so einen Preis aus „Showgründen“ ausschlagen
oder man kann ihn glaubwürdig ausschlagen, und imho tut
Perelman das letztere.

Er hält dem Mathematik-Showbusiness einen
Spiegel vor und das Recht gestehe ich ihm zu.

Das Werk ist das einzige was zählt und was bleibt,
„eine Million“ hat schon so manchen vernichtet …

Wer weiss …

Grüße

CMБ