Hallo,
ich suche eine Formel, um von einem Viertelkreis nicht für die innere Fläche, sondern für die äußere Fläche den Schwerpunkt und die Fläche zu berechnen. Ich weiß nicht, ob das genau herübergekommen ist, ein viertelkreis in ein Quadrat gelegt ergibt zwei Flächen: eine innere und eine äußere. Ich suche die Formeln für die äußere Fläche.
Wer kann mir helfen?
Hallo Bert,
vielleicht kann ja sogar ich als mathematische Null einen Beitrag leisten 
Berechne die Fläche des ganzen Kreises, teile durch vier und ziehe das Ergebnis von der Fläche des Quadrates ab.
Der Schwerpunkt des äußeren Quadratteiles dürfte evtl außerhalb der Fläche (innerhalb des Kreises)liegen.
Gruß Eckard
ich suche eine Formel, um von einem Viertelkreis nicht für die
innere Fläche, sondern für die äußere Fläche den Schwerpunkt
und die Fläche zu berechnen.
Re Hi Bert,
mir ist nicht klar, ob Du Dich für die Lösung (also die Koordinaten des Schwerpunktes) oder den Lösungsweg interessierst?
Zur Lösung:
Der Schwerpunkt befindet sich Radius*sqrt(2)*2/(12-3*pi) (= 1.09832…*Radius) vom Kreismittelpunkt entfernt.
Zum Weg:
Du mußt bloß 1. von der Definition des Schwerpunkts (wer hätte das gedacht?) ausgehen, 2. Dir die Funktionsgleichung für die Randkurve des Viertelkreises überlegen (Tip: probier’s mal mit y(x)=sqrt(1-x^2)) und 3. dann einfach nur noch rechnen. Du hast hier sogar einen Bonus, denn wegen der Symmetrie des Viertelkreises brauchst Du nur eines der Integrale auszuwerten. Ist ne typische Erstes-Semester-Physik-Übungsaufgabe. Ach ja, die Gesamtfläche des Viertelkreises brauchst Du auch noch, aber die sollte ja nun auch kein Problem sein 
.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hi Bert,
Ich hätte da eine Idee…
wenn ich dich richtige verstanden habe, dann ist deine Fläche durch eine Quadrat und einen Kreisbogen gegeben, der durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken des Quadrats geht und den gleichen Radius (z.B. r=1) wie die Seitenlänge des Quadrats hat - der Mittelpunkt liegt also auf einer dritten Ecke des Quadrates.
Das Problem läßt sich zunächst schon einmal durch die Betrachtung der Symmetrie vereinfachen. Die Diagonale durch den Mittelpunkt des Kreisbogen und zwei Ecken ist eine Symmetrieachse. Das heißt, der Mittelpunkt muß irgendwo darauf liegen - nur wo?
Die Idee sollte klar werden, wenn du deine Fläche und diese Symmetrieachse zeichnest. Wenn du nun die Achse als eine x-Achse betrachtest und die Ecke, die nicht der Mittelpunkt ist als Ursprung annimmst und dadurch die y-Achse legst, hast du schon mal ein Koordinatensystem.
Wenn nun der Schwerpunkt bei der Koordinate x=a und y=0 (per Definition klar) liegt, dann könnte man die Unbekannte a durch Integration ermitteln. Denn: Das Integral von 0 bis a über die Funktion, die die Rändern deiner Fläche beschreiben muß gleich dem Integral von a bis Sqrt(0.5) (dort liegt eine der Ecke, durch die der Kreis geht - bei x=Sqrt(0.5)=0.707 und y=0.707) sein. Das klingt jetzt recht kompliziert, sollte aber mit einer Zeichnung verständlich sein. Der Trick ist einfach eine Flächenberechnung mit Hilfe eines Integrals. Die Fläche zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) ist gegeben durch Integral( f - g)
Die eine begrenzente Funktion ist die gerade Kante des Quadrats, in unserem Koordinatensystem einfach durch f(x) = x beschrieben. Die andere Funktion ist die Parametrisierung des Kreises, nach x aufgelöst, also g(x) = Sqrt(1 - (x-sqrt(2))^2). Allerdings ist g(x) zwischen x=0 und x=sqrt(2)-1=0.41 nicht definiert.
Wenn du jetzt einfach die Integrale
Int(0 bis a) (x - Sqrt(1 - (x-sqrt(2))^2)) dx (Achtung: Fallunterscheidung zwischen 0 und 0.41, da g(x) dort nicht definiert) und
Int(a bis sqrt(0.5)) (x - Sqrt(1 - (x-sqrt(2))^2))
berechnest, gleichsetzt und nach a auflöst, dann solltest du den Schwerpunkt kennen. Um diese Zeit wollte ich allerdings die Integrale doch nicht mehr lösen…sie sind aber alle geschlossen darstellbar (-> Bronstein).
Auch wenn die Idee in Worten doch viel komplizierter klingt als ich das erwartet habe…ich hoffe, es hilft dir ein bisschen weiter.
Markus
Wenn nun der Schwerpunkt bei der Koordinate x=a und y=0 (per
Definition klar) liegt, dann könnte man die Unbekannte a durch
Integration ermitteln. Denn: Das Integral von 0 bis a über die
Funktion, die die Rändern deiner Fläche beschreiben muß gleich
dem Integral von a bis Sqrt(0.5) (dort liegt eine der Ecke,
durch die der Kreis geht - bei x=Sqrt(0.5)=0.707 und y=0.707)
sein.
Hallo Markus,
ähhh… ich will Dir wirklich nicht zu nahe treten, aber das a, das Du über die Flächengleichheit (Fläche links von a = Fläche rechts von a) bestimmen willst, ist nicht die Koordinate des Schwerpunkts. Vielleicht solltest Du die Schwerpunktsdefinition mal auffrischen?
Nichts für ungut, bitte.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Martin,
> … ich will Dir wirklich nicht zu nahe treten,
kein Problem - über einen sachlich richtigen Einwand kann ich mich nun wirklich nicht beschweren. Ich habe natürlich die Moment-Wirkung vergessen; insofern kann man das komplette Posting als gegenstandlos betrachten.
Vielen Danke für den Tip,
Markus
Hallo Bert,
betrachte die Funktion für einen „Viertelkreis“:
f(x) = R - Wurzel(R²-x²)
Wenn ich mich nicht verechnet habe, gilt für die Schwerpunktskoordinaten:
Xs = Integral(0,R,x*f(x))dx / Integral(0,R,f(x))dx
= (1/2*R³ - 1/3*R³)/(R²-1/4*R²Pi) = (2*R)/(12-3Pi)
Ys = Integral(0,R,f(x)²)dx / Integral(0,R,2f(x))dx
= 1/3 * R * (10-3Pi)/(4-Pi)
Gruß Frank
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]