Signifikante Stellen

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Experten

Eine Frage zur Anzahl signifikanter Stellen.

Also normalerweise ist es ja so, dass man bei zwei Näherungswerten das Ergebniss auf die gleiche Anzahl signifikanter Stellen rundet, wie die Anzahl signifikanter Stellen der Zahl, mit der geringereren Anzahl signifikanter Stellen.

Aber:

385.28 hat 5 signifikante Stellen
692.8 hat 4 signifikante Stellen

385.28 + 692.8 = 1078.08

das müsste ja dann auf 4 signifikante Stellen gerundet werden, also:

1078

in meinen Lösungen steht aber 1078.1

hat das einen besonderen Grund?

vielen dank für eure Antworten

Markus

Signifikante Stellen
#2

Auch hallo.

Eine Frage zur Anzahl signifikanter Stellen.

Numerik ?

Aber:

385.28 hat 5 signifikante Stellen
692.8 hat 4 signifikante Stellen

…692.80 hat jetzt 5 signifikante Stellen :wink:

385.28 + 692.8 = 1078.08

das müsste ja dann auf 4 signifikante Stellen gerundet werden,
also:

1078

in meinen Lösungen steht aber 1078.1

Aber das hat vermutlich den Hintergrund, dass bei Werten grösser gleich 5 aufgerundet wird. Und nicht einfach abschneiden.

HTH
mfg M.L.

#3

Hallo,

Also normalerweise ist es ja so, dass man bei zwei
Näherungswerten das Ergebniss auf die gleiche Anzahl
signifikanter Stellen rundet, wie die Anzahl signifikanter
Stellen der Zahl, mit der geringereren Anzahl signifikanter
Stellen.

das ist eine Faustregel - eigentlich musst du Fehlerfortpflanzung betreiben.

385.28 hat 5 signifikante Stellen
692.8 hat 4 signifikante Stellen
385.28 + 692.8 = 1078.08

Bei einer Summe werden die Unsicherheiten quadratisch addiert, was hier schlicht zur Folge hat, dass die größere Unsicherheit herauskommt, weshalb eine Angabe mit derselben Unsicherheit, wie der schlechteste Eingabewert sinnvoll ist, also eine Nachkommastelle:

1078.1

hat das einen besonderen Grund?

Du kannst dir die Fehlerfortpflanzung auch ganz einfach verdeutlichen, indem du den ungünstigsten Fall annimmst: die echten Werte seien:
385.29 + 692.9 = 1078.19

  • je nach Konvention sind diese Werte sogar schlechter, als durch die Angabe erlaubt - das Ergebnis ist also deutlich besser, als auf vier Stellen genau.

–
Philipp

#4

Auch hallo.

Also normalerweise ist es ja so, dass man bei zwei
Näherungswerten das Ergebniss auf die gleiche Anzahl
signifikanter Stellen rundet, wie die Anzahl signifikanter
Stellen der Zahl, mit der geringereren Anzahl signifikanter
Stellen.

So ein Unsinn! Nach dieser Faustformel muesstest Du 7+5=12->10 rechnen.
Vielmehr brauchst Du hier die Fehlerfortpflanzung, also

&Delta(a+b) = SQRT[(&Delta a)2 + (&Delta b)2].

Nun ist &Delta a = 0.01 und &Delta b = 0.1. Das ergibt nach obiger Formel &Delta(a+b) = 0.1005. Also ist es korrekt, eine Nachkommastelle anzugeben.

Gruss,
klaus

#5

Hallo,

wie gesagt: _eigentlich_ muddu die Fehlerfortpflanzung berechnen.

Aber der Weg, den Du meinst, geht eigentlich nicht über die ANZAHL der signifikanten Stellen, sinderen über deren WERTIGKEIT. Entscheident ist die GRÖSSENORDNUNG der „am wenigsten“ signifikanten und den „signifikantesten“ Stellen. Hä? - Ganz einfach:

385.28 hat 5 signifikante Stellen

Die signifikanteste Stelle ist 0.08 (Größenordnung: 0.01)

692.8 hat 4 signifikante Stellen

Die signifikanteste Stelle ist 0.8 (Größenordnung: 0.1)

Die „am wenigsten signifikante“ darunter (die sog. least significant digit (LSD)) ist die zweite.

Bei Addition und Subtraktion ist es nach der Faustformel üblich, im Ergebnis auf diese LSD zu runden.

385.28 + 692.8 = 1078.08

Gerundet: 1078.1

in meinen Lösungen steht aber 1078.1

Genau.

Bei Produkten und Quotienten kannst du diese Faustformel NICHT anwenden. Statt des LSD muß man hier die _relative_ (Un-)Genauigkeit betrachten. Das Ergebnis sollte keine größere relative (Un-)Genauigkeit aufweisen als der Term mit der schlechtesten relative Genauigkeit.

Die rel. (Un-)Genauigkeit ist die LSD der Zahl, dividiert durch die Zahl. Beispiel:

0.032 x 0.00460

Wert LSD rel.Genauigk.
0.032 0.001 0.001/0.032 = 3.2%
0.00460 0.00001 0.00001/0.00460 = 0.2%

Produkt:
0.0001472 0.0000001 0.0000001/0.0001472 = 0.07%
0.000147 0.000001 0.000001/0.000147 = 0.68%
0.00015 0.00001 0.00001/0.00015 = 6.7%
0.0001 0.0001 0.0001/0.0001 = 100%

(Beachte: wenn 0.00460 angegeben wird, heißt das, dass die letzte Null wirklich bekannt ist, der wahre Wert also sicher zwischen 0.00455 und 0.00465 liegt!)

Das Ergebnis sollte eine relative (Un-)Genauigkeit von etwa 3.2% aufweisen. Das exakte Produkt hat eine rel. Genauigkeit von 0.07%, ist also viel zu genau. Nimmt man eine Stelle weniger, ist man immer noch zu genau. Erst mit einem Wert von 0.00015 liegt man mit der Genauigkeit von 6.7% in der Größenordnung von 3.2%. Rundet man noch mehr, ist die Genauigkeit des Ergebnisses zu schlecht.

Korrekt ist also folgende Angabe: 0.032 x 0.00460 = 0.00015

LG
Jochen