Zufällig bin ich im Archiv auf folgendes gestoßen:
Frage:
die Karten eines Stapels von 32 Spielkarten sollen parallel ihrer Längsseite so gegeneinander verschoben werden, daß dabei keine vom Stapel herunter fallen.
Um wieviele Kartenlängen lässt sich auf
diese Weise die oberste Karte über eine Tischkante hinaus schieben, wenn man
idealerweise annimmt, daß die Karten nicht
biegbar sind?
Wie weit kommt man mit einem Rommee-Spiel
(104 Karten), wie weit mit beliebig vielen
Karten?
Antwort:
Etwas physikalisch-abstrakter lautet Eure Aufgabe so:
N + 1 homogene Quader der Länge l werden übereinander gestapelt,
wobei alle Quader gegeneinander in die gleiche Richtung verschoben
werden.
Frage1: Um wieviel darf man die Quader *maximal* verschieben,
ohne daß der Stapel umkippt?
Frage 2: Wie groß ist dann der „Gesamtüberhang“ des Stapels, also
die Summe aller Verschiebungen, als Funktion der Quaderanzahl?
Lösung
Zuerst numeriere man die Quader mal durch: Der oberste werde mit
Q_0, der zweitoberste mit Q_1 usw. bezeichnet, bis zum untersten,
der mit Q_N bezeichnet werde.
Um das Problem zu lösen, muß man zu folgender Erkenntnis kommen:
Der aus den Quadern Q_0 bis Q_i (i beliebig, 0 — = — (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/N)
2 — i 2
i=1
Da diese Summe aber für N -> Unendlich divergiert (wenn auch sehr
langsam), folgt, daß u(N) nicht nach oben beschränkt ist, d. h.
man kann *jeden beliebig großen* Gesamtüberhang erreichen, wenn
nur die Anzahl der Quader hinreichend groß ist!
Hier noch einige konkrete Werte:
N u(N)
1 0.5 l
2 0.75 l
3 0.9166666 l
4 1.0416666 l
5 1.1416666 l
6 1.225 l
10 ca. 1.4645 l
31 ca. 2 l
227 ca. 3 l
1674 ca. 4 l
Die Überhangswerte für N = 32 und N = 104 könnt Ihr jetzt leicht
selbst ausrechnen bzw. mit einem kleinen Progamm z. B. in Pascal
ausrechnen lassen.
Zitat Ende.
Ich behaupte nun, der maximale Überhang beträgt die halbe Kartenlänge
(evt. Adhäsionskräfte nicht berücksichtigt). Hier besteht ein labiles Gleichgewicht - der Schwerpunkt der oberen Karte liegt genau auf der Kante der unteren.
Sobald auf die obere Karte eine weitere Karte gelegt wird und diese auch nur minimal weiter verschoben wird, verlagert sich der Gesamtschwerpunkt der oberen beiden Karten außerhalb der unterstützten Fläche - der Stapel kippt.
Frage: Wo liegt der Fehler in dem Beweis, dass der Gesamtüberhang jeden beliebigen Betrag erreichen kann, wenn man nur genug Karten aufschichtet?