Physik
Von: Steffie, 24.3.2008 17:25 Uhr
Hallo,

ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.

Kurz die Regeln:
Folgende Karten gibt es beim Doppelkopf:
Ass, 10, König, Dame, Bube in allen 4 Farben und jede Karte doppelt. Also insgesamt 40 Stück. Es spielen 4 Spieler mit, jeder bekommt 10 Karten.

Ein Schweinchen hat man, wenn ein Spieler beide Karo Asse hat.

Beträgt die Wahrscheinlichkeit dann einfach 2/40, weil ein Spieler genau diese beiden Karten von insgesamt 40 braucht?

Vielen Dank,

Steffie



  1. Antwort von Karl-H.Schönfeld 0
    Re: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
    Hallo Steffi,
    ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein
    sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.

    Ein Schweinchen hat man, wenn ein Spieler beide Karo Asse hat.

    dass man das erste Schweinchen hat, dafür ist die Wahrscheinlickeit 1/4 . Irgendwer und nur einer der vier Spieler bekommt diese Karte ja schließlich.
    Dasselbe gilt für das zweite Schweinchen, also nochmal 1/4 .

    Die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, ist das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Also 1/16.
    Dasselbe gilt auch für die "Hochzeit", beide Kreuz-Damen.

    Gruß
    Karl
    17 Kommentare
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 0
      Re^2: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo! dass man das erste Schweinchen hat, dafür ist die
      Wahrscheinlickeit 1/4 . Irgendwer und nur einer der vier
      Spieler bekommt diese Karte ja schließlich.
      Dasselbe gilt für das zweite Schweinchen, also nochmal 1/4 .

      Die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, ist das Produkt
      der Einzelwahrscheinlichkeiten. Also 1/16.
      Dasselbe gilt auch für die "Hochzeit", beide Kreuz-Damen.
      Sicher?

      Wenn ich 40 Karten auf vier Hände zu je 10 Karten aufteile, so ist ein Karo-Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von 10/40 in meiner Hand. Die andere Karte hat nur noch 39 Plätze zur Verfügung. Davon befinden sich neun auf meiner Hand. Das macht eine Wahrscheinlichkeit von 9/39. Insgesamt haben wir also eine Wahrscheinlichkeit von

      P = 10/40 * 9/39 = 0,0577

      (1/16 = 0,0625)

      Die Chancen stehen meiner Meinung nach daher etwas schlechter als 1/16.

      Michael
    • Re^3: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Michael, dass man das erste Schweinchen hat, dafür ist die
      Wahrscheinlickeit 1/4 . Irgendwer und nur einer der vier
      Spieler bekommt diese Karte ja schließlich.
      Dasselbe gilt für das zweite Schweinchen, also nochmal 1/4 .

      Die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, ist das Produkt
      der Einzelwahrscheinlichkeiten. Also 1/16.
      Dasselbe gilt auch für die "Hochzeit", beide Kreuz-Damen.
      Sicher?
      Solange die obige Ausführung nicht widerlegt wird : Eigentlich ja.
      Wenn ich 40 Karten auf vier Hände zu je 10 Karten aufteile, so
      ist ein Karo-Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von 10/40 in
      meiner Hand. Die andere Karte hat nur noch 39 Plätze zur
      Verfügung. Davon befinden sich neun auf meiner Hand. Das macht
      eine Wahrscheinlichkeit von 9/39. Insgesamt haben wir also
      eine Wahrscheinlichkeit von

      P = 10/40 * 9/39 = 0,0577

      (1/16 = 0,0625)

      Die Chancen stehen meiner Meinung nach daher etwas schlechter
      als 1/16.
      Um darin einen Wurm zu finden ist
      - entweder die Stunde zu sehr vorgerückt
      - oder ich bin zu blöd.
      Finde auch keinen Wurm in meiner ersten Herleitung.

      In unserer Doko-Runde würden wir sagen : Machen wir einen Kompromiss und treffen uns in der Mitte. Nur das wäre eines solchen Forums unwürdig. Zwei Lösungen kann's schließlich nicht geben.

      Wer "schlichtet" ?

      Gruß
      Karl
    • von McGee 1
      Re^4: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo,

      bei dem Karten-Gebe-Modell von Karl wird jede Karte mit WKeit 1/4 an einen Spieler verteilt, so dass die Spieler mit hoher WKeit nicht jeder 10 Karten bekommen, sondern nur im Erwartungswert.

      Grüße
      Thorsten
    • Re^5: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Thorsten,
      bei dem Karten-Gebe-Modell von Karl wird jede Karte mit WKeit
      1/4 an einen Spieler verteilt,
      für einen Unbedarften wie mich : Wie ist Wkeit definiert ? so dass die Spieler mit hoher WKeit nicht jeder 10 Karten bekommen,
      Wie geht denn das ? Wird dadurch das Abzählen beim Gebevorgang ausser Kraft gesetzt :-) ? sondern nur im Erwartungswert.
      Was ist denn das ?
      Gruß
      Karl

      P.S.: Meine Argumentation ist wie folgt :
      Gesetzt sei, dass das erste Karo-Ass nicht unter den Tisch fällt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeiner der vier Spieler die bekommt 100%, also 1.
      Da jeder der vier Spieler die gleiche Chance/Wahrscheinlichkeit hat, ist die Einzelwahrscheinlichkeit bei jedem der vier also 1/4.
      Die selbe Logik gilt auch, wenn es an das Verteilen des zweiten Karo-Ass geht.
      Und dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beide Asse bekomme das Produkt meiner beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 0
      Re^6: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo!

      McGee hat es vollkommen richtig erkannt, nur ein bisschen wortkarg erklärt. bei dem Karten-Gebe-Modell von Karl wird jede Karte mit WKeit
      1/4 an einen Spieler verteilt,
      für einen Unbedarften wie mich : Wie ist Wkeit definiert ?
      Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis aus der Anzahl der "günstigen" Möglichkeiten zur Anzahl aller Möglichkeiten. so dass die Spieler mit hoher WKeit nicht jeder 10 Karten bekommen,
      Wie geht denn das ? Wird dadurch das Abzählen beim Gebevorgang
      ausser Kraft gesetzt :-) ?
      Was McGee sagen wollte: Wenn jede Karte eine 25%ige Wahrscheinlichkeit hat, bei einem bestimmten Spieler zu landen, dann bedeutet das, dass jeder Karte zufällig ein Spieler zugeordnet wird. Der Erwartungswert für die Kartenzahl eines Spielers ist 10. Das bedeutet, dass jeder Spieler im Mittel 10 Karten erhält. Mancher wird jedoch - nach diesem Verfahren! - mehr oder weniger Karten bekommen.

      Das Kartengeben beim Doppelkopf geschieht aber anders: Jeder Spieler erhält genau 10 Karten. Wie wir sehen werden, kann man dann die Wahrscheinlichkeit nicht mehr so berechnen, wie Du das getan hast. P.S.: Meine Argumentation ist wie folgt :
      Gesetzt sei, dass das erste Karo-Ass nicht unter den Tisch
      fällt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeiner der
      vier Spieler die bekommt 100%, also 1.
      Da jeder der vier Spieler die gleiche
      Chance/Wahrscheinlichkeit hat, ist die
      Einzelwahrscheinlichkeit bei jedem der vier also 1/4.
      Soweit ist noch alles richtig. Die selbe Logik gilt auch, wenn es an das Verteilen des
      zweiten Karo-Ass geht.
      Nein, das stimmt nicht. Es wird offensichtlich, wenn wir das Problem mal ein bisschen übersichtlicher gestalten: Es gibt nur zwei Spieler und nur vier Karten. Zwei der vier Karten sind Karo Asse. Die Wahrscheinlichkeit, dass das eine Karo Ass bei einem der beiden Spieler landet ist 1/2 (mit der selbsen Argumentation, die Du oben angewendet hast.

      Wo liegt das andere Karo Ass? Entweder beim ersten Karo Ass, oder in der anderen Hand. Die Wahrscheinlichkeit, dass es in der anderen Hand liegt, ist aber größer, weil es dort ja noch zwei unbekannte Karten gibt. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit für das zweite Karo-Ass genau 1/3, dass es beim ersten landet. Die Wahrscheinlickeit dafür, dass ich beide Karo-Asse bekomme, beträgt also

      P = 1/2 * 1/3 = 1/6.

      Wenn Du es nicht glaubst: hier mal alle möglichen Verteilungen: Ich nenne die beiden Karo-Asse K und k und die anderen Karten x und y.

      ich      | Du
      ---------+----------
      Kk       | xy
      Kk       | yx
      kK       | xy
      kK       | yx
      ---------+----------
      Kx       | ky
      Kx       | yk
      xK       | ky
      xK       | yk
      ---------+----------
      Ky       | kx
      ...      | ...
      ---------+----------
      kx       | Ky
      ...      | ...
      ---------+----------
      ky       | Kx
      ...      | ...
      ---------+----------
      xy       | Kk
      ...      | ...
      


      In jedem Kästchen dieser Tabelle stehen einfach die vier möglichen Permutationen zu einer bestimmten Kartenverteilung. In vier von 24 möglichen Fällen habe ich tatsächlich beide Karo-Asse. Das ist genau 1/6.

      Bei 40 Karten gibt es so viele Möglichkeiten der Verteilung (rund 10^48), dass ich zu faul bin, alle hinzuschreiben. Das Prinzip bleibt das gleiche.

      Dein Denkfehler: Du hast übersehen, dass ein Karo-Ass die Chance vermindert, dass ein zweites Karo-Ass in dieser Hand landet. Jemand, der schon ein Karo-Ass hat, kriegt nämlich nur noch 9 Karten, während alle Spieler, insgesamt 10 Karten bekommen.

      Michael
    • von Kubi 0
      Re^7: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Moin,

      Deine nette Tabelle unterscheidet die Reihenfolgen der Karten, also xy ist etwas anderes als yx. Das ist aber beim DoKo irrelevant. Bei deinem Beispiel identifiziere ich nur vier Fälle:

      1. Du hast beide Karo-Asse

      2. Jeder hat eins davon.

      3. Der andere hat beide Karo-Asse.

      Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind 1/4, 1/2 und 1/4. Damit wäre Karl-Heinz' Überlegung richtig.

      Was sagst Du?

      Gruß

      Kubi
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 0
      Re^8: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo! Deine nette Tabelle unterscheidet die Reihenfolgen der Karten,
      also xy ist etwas anderes als yx. Das ist aber beim DoKo
      irrelevant.
      Für das Doppelkopfspiel vielleicht, aber nicht für die Statistik. Bei deinem Beispiel identifiziere ich nur vier
      Fälle:

      1. Du hast beide Karo-Asse

      2. Jeder hat eins davon.

      3. Der andere hat beide Karo-Asse.

      Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind 1/4, 1/2 und 1/4. Damit
      wäre Karl-Heinz' Überlegung richtig.

      Was sagst Du?
      Du hast diese drei Varianten falsch gewichtet. Die beiden Karo-Asse sind ja schon zwei verschiedene Individuen (auch wenn sie spielerisch die selbe Bedeutung haben). Deswegen habe ich sie mit K und k bezeichnet. Dann kann ich folgende Kombinationen auf meiner Hand haben: Kk, Kx, Ky, kx, ky, xy. Das sind sechs Möglichkeiten. Folglich müssen die Wahrscheinlichkeiten für die drei o. a. Fälle lauten: 1/6, 2/3, 1/6.

      Michael
    • Re^9: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Michael,
      zunächst müssen wir die Anzahl der möglichen Konstellationen finden, die alleinig zur Entscheidung über "Schweinchen ja/nein" heranzuziehen sind.
      Nicht die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten der im Spiel befindlichen Karten. Auch ist es für die Entscheidung "Schweinchen ja/nein" belanglos/identisch, ob es sich um das erste oder zweite Karo-Ass handelt.
      Doko ist schon ein sehr variantenreiches Spiel. Mit der Auffälligkeit, dass man sich immer wieder fragt : Warum passiert es mir so häufig, dass ich beide Karo-Ass habe, und nicht den anderen ? Schwups, schon steht die Frage nach der Wahrscheinlichkeit im Raume.
      Gruß
      Karl
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 2
      Re^10: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Karl! zunächst müssen wir die Anzahl der möglichen Konstellationen
      finden, die alleinig zur Entscheidung über "Schweinchen
      ja/nein" heranzuziehen sind.
      Nicht die Anzahl der Verteilungsmöglichkeiten der im Spiel
      befindlichen Karten. Auch ist es für die Entscheidung
      "Schweinchen ja/nein" belanglos/identisch, ob es sich um das
      erste oder zweite Karo-Ass handelt.
      Wie ich bereits sagte: Das mag für Dich als Spieler egal sein, aber es ist für die Berechnung nicht egal! Wenn ich zwei Münzen werfe, so würdest Du drei Fälle unterscheiden: beide K, beide Z und Kombination aus K und Z. (K=Kopf, Z=Zahl). Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Münzen Kopf zeigen 1/3, also rund 33%. In Wirklichkeit gibt es aber die Varianten KK, KZ, ZK und ZZ. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für KK auch nicht 1/3, sondern 1/4, also 25%.

      Eingangs sagte ich, dass die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis aus günstigen Möglichkeiten zu allen Möglichkeiten ist. Und wenn da steht "alle Möglichkeiten" dann heißt das auch "alle Möglichkeiten". Punkt. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen. Alles andere, was Du und Olaf propagiert, sind nicht gerechtfertigte Verallgemeinerungen und die führen zwangsläufig zum falschen Ergebnis. Manchmal würde es die Bruchrechnung einfacher machen, wenn man in Summen und Differenzen kürzen dürfte. Darf man aber nicht. Das ist so ein ähnlicher Fall, wo man es sich nicht leichter machen darf als erlaubt.

      Michael
    • Re^11: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Michael,
      vielen Dank für deine Bemühungen um einen derart Uneinsichtigen wie mich. Bin zum Glück lernwillig und (in Grenzen) lernfähig. Wie ich bereits sagte: Das mag für Dich als Spieler egal sein,
      aber es ist für die Berechnung nicht egal! Wenn ich zwei
      Münzen werfe, so würdest Du drei Fälle
      unterscheiden: beide K, beide Z und Kombination aus K und Z.
      (K=Kopf, Z=Zahl). Demnach wäre die Wahrscheinlichkeit dafür,
      dass beide Münzen Kopf zeigen 1/3, also rund 33%. In
      Wirklichkeit gibt es aber die Varianten KK, KZ, ZK und ZZ.
      Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für KK auch nicht 1/3,
      sondern 1/4, also 25%.
      Nun ist der Groschen bei mir gerutscht. War ja ganz zum Anfang auch auf der Rille mit 1/4 . Eingangs sagte ich, dass die Wahrscheinlichkeit das Verhältnis
      aus günstigen Möglichkeiten zu allen Möglichkeiten ist. Und
      wenn da steht "alle Möglichkeiten" dann heißt das auch
      "alle Möglichkeiten".
      Wie die zwei Ks auf die vier Spieler überhaupt verteilbar sind, zeigt die Tabelle. Jedenfalls sehe ich nicht mehr Möglichkeiten.
      Es heiße „AA“ dass Spieler A ein erstes K und ein zweites K habe. „AB“ bedeutet A habe das erste K und B das zweite K. Und so weiter.
         
      AA    AB    AC    AD               
      BA    BB    BC    BD
      CA    CB    CC    CD
      DA    DB    DC    DD              
      

      Daraus lese ich :
      - Jeder der Spieler erhält mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/16 zwei Ks.
      - Dass es überhaupt zwei Ks auf einer Hand gibt, dafür ist die
      Wahrscheinlichkeit 1/4.

      Ist da noch ein "Wurm" drin ?

      Gruß
      Karl
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 3
      Re^12: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Lieber Karl!

      Dies ist jetzt mein letzter Versuch. Wenn Du es dann noch nicht kapierst, muss es Dir jemand anders erklären, denn meine Geduld ist langsam am Ende... Ist da noch ein "Wurm" drin ?
      Du zählst 16 mögliche Verteilungen auf und gehst stillschweigend davon aus, dass jede Verteilung gleich wahrscheinlich wäre - obwohl ich Dir seit 125 Postings sage, dass es für das zweite Ass wahrscheinlicher ist, dort zu landen, wo noch kein Ass ist.

      Um es mal mit Deinen Bezeichnungen zu machen:

      Die Spieler A, B, C und D kriegen jeweils 10 Karten. Jetzt machen wir eine Fallunterscheidung: Das eine Karo-Ass liegt bei A. Es bleiben noch 39 Karten übrig. Davon liegen 9 bei A, 10 bei B, 10 bei C und 10 bei D. Wo liegt das andere Ass? Es liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 9/39 bei A, 10/39 bei B, 10/39 bei C und 10/39 bei D. Die gleiche Berechnung stellen wir für die Fälle an, dass das erste Karo-Ass bei B, C bzw. D liegt. Diese vier Fälle treten jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 ein (jeder der vier Spieler kann der Glückliche sein, der das so genannte erste Karo-Ass kriegt). Also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in irgendeiner Hand Schweinchen gibt

      P = P(AA) + P(BB) + P(CC) + P(DD)
      = 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39 + 1/4 * 9/39
      = 9/39
      = 0,23

      q.e.d.

      Michael
    • Re^13: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Michael,
      vielen Dank, für deine - schließlich auch für mich gut verständliche - Erklärung. Endlich habe ich's auch verstanden. Dafür wenigstens ein Sternchen.
      Gruß
      Karl
    • von Kubi 0
      Hast recht, ich nicht (owT)
      Da hab ich daneben gegriffen...
    • Re^7: Heureka, ich hab's. Wer bietet mehr ?
      Hallo Michael Was McGee sagen wollte: .....Wenn jede Karte eine 25%ige......
      Mancher wird jedoch - nach diesem Verfahren! - mehr oder weniger Karten bekommen.
      So wie du auch feststellst : Der Ansatz von McGee ist hier unbrauchbar. Es wird offensichtlich, wenn wir das Problem mal ein bisschen
      übersichtlicher gestalten: Es gibt nur zwei Spieler und nur vier Karten.
      Zwei der vier Karten sind Karo Asse.. ...

      ....Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich beide Karo-Asse bekomme, beträgt also
      P = 1/2 * 1/3 = 1/6.
      Da komme ich aber zu einem anderen Ergebnis, wenn ich per Tabelle vorangehe.
      K sei Karo-Ass, wovon es zwei gleichwertige gibt. Die Fehlkarte (also ungleich K) sei o.
      ich      | Du
      ---------+----------
      Ko       | Ko
      KK       | oo
      oo       | KK
      

      Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich zwei K habe 1/3.
      Dass es überhaupt auftritt, das ist in zwei der drei möglichen Konstellationen der Fall, also 2/3

      Wie man nun leicht in der folgenden Tabelle sieht, gilt das genauso für beliebig viele Fehlkarten o. Also auch für die 40 Karten im richtigen Doppelkopf. Nur dass da vier Leute am Tisch sitzen
      ich      | Du
      ---------+----------
      Koooo    | Koooo
      KKooo    | ooooo
      ooooo    | KKooo
      
      Bei 40 Karten gibt es so viele Möglichkeiten der Verteilung (rund 10^48),
      Stimmt nicht, siehe oben und auch unten. Danach sind es nur 10. dass ich zu faul bin, alle hinzuschreiben.
      Da will ich mal fleißiger sein und zu viert spielen lassen, mit den Spielern A, B, C und D
      Listen wir die möglichen Konstellationen zur Verteilung der zwei (identischen) Ks auf A bis D in der folgenden Tabelle auf. Dabei heiße „AA“ dass Spieler A ein erstes K und ein zweites K habe. „AB“ bedeutet A habe das erste K und B das zweite K. Und so weiter.
      Fett gedruckt sind die „doppelkopfmäßig“ relevanten Konstellationen : Es gibt keine Unterscheidung zwischen erstem und zweiten K. D.h. AB ist in der Beziehung gleichwertig zu BA etc
         
                                   Anzahl der relevanten Konstellationen
      AA    AB    AC    AD                4
      BA    BB    BC    BD                3
      CA    CB    CC    CD                2
      DA    DB    DC    DD                1
                                               -----
                                    Summe       10
      

      Daraus liest man :
      - Jeder der Spieler erhält mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 zwei Ks.
      - Dass es überhaupt zwei Ks auf einer Hand gibt, dafür ist die
      Wahrscheinlichkeit 4/10.

      War also mit meiner ersten Behauptung nicht sorgfältig genug gewesen.
      Dass der Nachweis mathematisch nicht besonders elegant ist, dass möge man mir als Ingenieur nachsehen. Vielleicht bemüht sich jemand anders – ein Profi - um die Herleitung einer allgemein gültigen Formel zur Lösung dieser Doppelkopfproblematik.

      Gruß
      Karl
    • von patr1ck 0
      Re^8: Heureka, ich hab's. Wer bietet mehr ?
      Hallo Karl, Vielleicht bemüht
      sich jemand anders – ein Profi - um die Herleitung einer
      allgemein gültigen Formel zur Lösung dieser
      Doppelkopfproblematik.
      Haben doch nun drei Leute unabhängig und identisch voneinander gemacht - drei Ansätze, die ineinander überführbar sind.

      Die Wkt. für ein Schweinchen in einer Partie ist 0.23, die Wahrscheinlichkeit für einen Spieler ein SChweinchen zu bekommen 0,057.

      Lieben Gruß
      Patrick
    • von Michael Bauer (abgemeldet) 0
      Re^8: Heureka, ich hab's. Wer bietet mehr ?
      Hallo Karl! Es wird offensichtlich, wenn wir das Problem mal ein bisschen
      übersichtlicher gestalten: Es gibt nur zwei Spieler und nur vier Karten.
      Zwei der vier Karten sind Karo Asse.. ...

      ....Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich beide Karo-Asse bekomme, beträgt also
      P = 1/2 * 1/3 = 1/6.
      Da komme ich aber zu einem anderen Ergebnis, wenn ich per
      Tabelle vorangehe.
      K sei Karo-Ass, wovon es zwei gleichwertige gibt. Die
      Fehlkarte (also ungleich K) sei o.
      ich      | Du
      ---------+----------
      Ko       | Ko
      KK       | oo
      oo       | KK
      

      Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich
      zwei K habe 1/3.
      Nein.

      Du machst den Fehler, dass Du gleichwertige Karten als identisch wertest. Aber das ist falsch. Für Dich als Spieler sind diese drei Varianten, die Du beschreibst, relevant. Aber sie sind deswegen nicht gleich wahrscheinlich. Um ihre tatsächliche Wahrscheinlichkeit herauszufinden, müssen wir genau wissen, wie viele Kombinationen es gibt. Manche davon sind dann für das Spiel gleichwertig, aber das ist dem Statistiker erstmal egal. Bei 40 Karten gibt es so viele Möglichkeiten der Verteilung (rund 10^48),
      Stimmt nicht, siehe oben und auch unten. Danach sind es nur
      10.
      Wenn das stimmen würde, dann wäre Doppelkopf ein ziemlich langweiliges Spiel, weil sich durchschnittlich alle 10 Spiele die Ausgangslage wiederholen würde.

      Geben wir mal jeder Karte im Deck eine Nummer, von 1 bis 40. Die werden jetzt gemischt. Karte #1 hat 40 mögliche Plätze, #2 hat 39 (weil einer schon belegt ist), #3 hat 38, usw. Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen ist also

      n = 40 * 39 * 38 * ... * 1 = 40! = ca. 10^48

      Da beißt die Maus keinen Faden ab. Natürlich gibt es Verteilungen, die aus Sicht der Spieler gleichwertig sind, weil die Reihenfolge der Karten auf der Hand keine Rolle spielt und weil jede Karte (Farbe + Wert) genau zweimal im Deck vorhanden ist. Das ändert aber nichts an der prinzipiellen Anzahl von Kartenreihenfolgen.

      Damit erübrigen sich Deine restlichen Überlegungen. Dass der Nachweis mathematisch nicht besonders elegant ist,
      dass möge man mir als Ingenieur nachsehen.
      Er ist nicht unelegant, sondern falsch.

      Erlaube mir, einen Witz anzubringen, der zunächst über Physiker erzählt wurde:

      Ein Physiker behauptet: Alle ungeraden Zahlen > 1 sind Primzahlen. Beweis: 3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl, 9 ist ein Messfehler, ...

      Inzwischen gibt es zu diesem Witz auch eine Ingenieursfassung:

      Ein Ingenieur behauptet: Alle ungeraden Zahlen > 1 sind Primzahlen.
      Beweis: 3 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl, 7 ist eine Primzahl, 9 ist eine Primzahl, ...
      Vielleicht bemüht
      sich jemand anders – ein Profi - um die Herleitung einer
      allgemein gültigen Formel zur Lösung dieser
      Doppelkopfproblematik.
      Ich meinte, ich hätte das getan. Ich finde Binominalkoeffizienten auch immer schrecklich unanschaulich. Deswegen habe ich versucht, Dir eine Lösung zu geben, die ohne diese Dinger auskommt. Du ziehst es aber anscheinend vor, mit einer falschen Lösung zu arbeiten...

      Michael
    • Re^3: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Michael, Wenn ich 40 Karten auf vier Hände zu je 10 Karten aufteile, so
      ist ein Karo-Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von 10/40 in
      meiner Hand. Die andere Karte hat nur noch 39 Plätze zur
      Verfügung. Davon befinden sich neun auf meiner Hand. Das macht
      eine Wahrscheinlichkeit von 9/39. Insgesamt haben wir also
      eine Wahrscheinlichkeit von
      Ich habe den Eindruck, dein Ansatz geht davon aus, dass bei der ersten "Gebe-Runde" das erste Karo-Ass dabei ist. Und bei der zweiten das zweite Ass.
      Weder die erste noch die zweite Annahme ist zwingend.
      Gruß
      Karl
  2. Antwort von OlafG 0
    Re: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
    Hallo, ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein
    sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.
    was meinst Du denn genau?
    Entweder: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich (also ein konkreter Spieler) so ein Schweinchen bekomme.
    Oder: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgend ein Spieler ein Schweinchen hat. Das wäre gleichbedeutend damit, dass beide Karo Asse zusammen in einer Hand sind, egal in welcher.

    Olaf
    1 Kommentare
    • von Steffie 0
      Re^2: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hi, was meinst Du denn genau?
      Entweder: Die Wahrscheinlichkeit, dass ich
      (also ein konkreter Spieler) so ein Schweinchen bekomme.
      Oder: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgend ein
      Spieler
      ein Schweinchen hat. Das wäre
      gleichbedeutend damit, dass beide Karo Asse zusammen in einer
      Hand sind, egal in welcher.
      eigentlich meinten wir die Wahrscheinlichkeit, dass es überhaupt ein Schweinchen gibt. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass ich ein Schweinchen bekomme, ist doch einfach 1/4 der Wahrscheinlichkeit, dass es überhaupt eins gibt oder?

      Also einigen wir uns darauf, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Schweinchen gesucht wird (egal wer es hat).

      Danke und Grüße,

      Steffie
  3. Antwort von McGee 0
    Wahrscheinlichkeit für Schweinchen ist 0,230769230
    Hallo,

    ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein
    sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.

    Ein Schweinchen hat man, wenn ein Spieler beide Karo Asse hat.

    Hallo Steffi,

    die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Spieler beim Doppelkopf beide Karo-Asse bekommt, berechnet sich wie folgt:

    Zur Vereinfachung vergeben wir die Karten etwas anders:
    Es wird gründlich gemischt und die ersten 10 Karten gehen an den 1. Spieler, usw.

    Wenn wir uns vorstellen, dass es 40 freie Plätze für die Karten gibt, so interessiert uns die Anzahl der Möglichkeiten, die beiden Karo-Asse auf 40 Plätze zu verteilen.

    Sei 1=Karo ass, 0 = andere Karte, dann kann man sich vorstellen, alle Möglichkeitne hinzuschreiben:

    1100000000000000000000000000000000000000
    1010000000000000000000000000000000000000
    1001000000000000000000000000000000000000
    ...
    0000000000000000000000000000000000000011

    Dies sind (40 über 2), siehe
    http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
    Die Formel für (n über 2) lautet: n * (n-1) /2

    Die Anzahl der Möglichkeiten, die beiden Karo-Asse auf die ersten 10 Plätze zu verteilen, ist

    (10 über 2).

    Die Wahrscheinlichkeit, dass der 1. Spieler beide Karo-Asse erhält, ist:

    (10 über 2 ) / (40 über 2) = 3 / 52 = 0,05769...

    Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Spieler beide Karo-Asse erhält, ist

    4* (10 über 2 ) / (40 über 2) = 3/13 = 0,2307... also ungefähr 1/4.

    Hat jemand empirische Daten, wie oft das Schweinchen wirklich vorkommt? Da ja beim Kartenspiel "nicht richtig" (nicht lang genug) geschischt wird, stimmt die Annahme nicht, das die Karten zufällig verteilt werden.

    Grüße
    Thorsten
    • Antwort von patr1ck 0
      Re: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      Hallo Steffie,

      eine Frage der Kombinatorik.

      Die Definition der Wahrscheinlichkeit habe ich unten immerhin schon einmal gelesen:

      Anzahl der "für ein Ereignis günstigen Fälle" geteilt durch "Anzahl aller Fälle".

      Eine andere Fragestellung ist, ob es ein spezieller oder ein beliebiger Spieler sein soll. Ich berechne die Wkt. für einen speziellen Spieler.

      Wir berechnen die Anzahl an Kombinationen aller möglichen Blätter, die ein Spieler haben kann (Anzahl aller Fälle). Es geht nicht um die Reihenfolge, zurückgelegt wird bei den Ziehungen der Karten auch nicht (wenn keiner fuscht), also ist der Binomialkoeffizient das Mittel der Wahl:

      40 über 10 = 40! / (30! * 10!) = 847.660.528 (und da sage mal einer, Doko ist nicht abwechslungsreich...)

      Nun denn - als nächstes ist gefragt, wieviele Kartenkombinationen es mit 2 Karo-As es gibt.

      Anzahl der Möglichkeiten, dass ich ein Karo-As an beliebiger Stelle bekomme ist 1 Möglichkeit, für das zweite ebenfalls 1 Möglichkeit.
      Es bleiben die restlichen 8 Karten, die können beliebig besetzt sein, werden aber nur aus 38 Auswahlmöglichkeiten gezogen, da die Karo-Assse nicht im Pool enthalten sein dürfen: 38 über 8 = 48.903.492 Möglichkeiten, also Hände mit 2 Karo-Assen = 1 * 1 * 48.903.492

      Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die möglichen Fälle=

      48.903.492 / 847.660.528 = 0,057692308

      Die 10/40 * 9/39 von Michael sind übrigens die Umformung dieser Herleitung (mathematisch wie auch der logischen Sichtweise), wir hatten ja (38 über 8)/(40 über 10) = (10*9)/(40*39).

      Die Wahrscheinlichkeit dass einer von vier Spielern Schweinchen bekommt beträgt das Vierfache = 0,166666666666666666 (1/6).

      In einem von 6 Speilen wird im Mittel Hochzeit gefeiert oder jemand hat Schweinchen.

      Bitte frage nicht, wie groß die Wahrscheinlichkeit für Doppelschweinchen ist, und auch nicht dass in einem Spiel SChweichen und Hochteit gemeinsam vorkommen... ;-)

      Lieben Gruß
      Patrick
      1 Kommentare
      • von patr1ck 0
        Re^2: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
        Hallo nochmal,

        nachdem McGee zeitgleich geantwortet hat muss ich mich an einer STelle korrigieren:

        Das Vierfache von 0,057692308 ist nicht 0,1667 sondern 0,2308.

        Damit kommen wir zum selben Ergebnis.

        Lieben Gruß
        Patrick
    • Antwort von Karl-H.Schönfeld 0
      • von OlafG 0
        Re^2: Noch 'ne Lösung.
        Hallo,

        abgesehen davon, dass es wohl unüblich ist, solche Querverweise anzubringen, glaube ich, dass Deine Lösung richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit ist 0,4 und nicht 0,23.
        Und Deine ingenieurmässige Herangehensweise ist genau richtig. Man muss hier erstmal den überflüssigen Ballast abwerfen. Es darf bei der Lösung gar keine Rolle spielen, dass es insgesamt 40 Karten gibt. Auch mit insgesamt nur 8 Karten (davon die 2 Asse) muss dasselbe herauskommen. Entscheidend ist doch nur, wie diese beiden Asse zum Schluss verteilt sind, also zusammen oder getrennt. Dass da in jeder Hand noch 8 weitere Karten stecken, ist doch völlig egal. Also ist Deine Tabelle als Lösung völlig ausreichend.
        Was mich nur wundert - bei den komplizierteren Lösungen mit Binomialkoeffizienten und so müsste doch eigentlich auch dasselbe herauskommen. Oder hier ist noch irgendwo ein Denkfehler drin. Vielleicht finden wir den noch?
        Wie wäre folgende Abstraktion im Sprachgebrauch der Kombinatoriker: In einer Urne sind 38 weiße und 2 rote Kugeln. Jemand nimmt zufällig 10 davon raus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass da die beiden roten dabei sind? Kommt da 0,1 raus? Das wäre toll. Aber ich fürchte das entspricht jetzt doch nicht ganz der Aufgabenstellung. Vielleicht kann aber jemand noch was draus machen - ich bin jetzt zu müde.

        Gute Nacht.
        Olaf
      • von Michael Bauer (abgemeldet) 1
        Falsch!
        Hallo! Und Deine ingenieurmässige Herangehensweise ist genau richtig.
        Man muss hier erstmal den überflüssigen Ballast abwerfen. Es
        darf bei der Lösung gar keine Rolle spielen, dass es insgesamt
        40 Karten gibt.
        "Man soll die Dinge so einfach machen wie möglich - aber nicht einfacher!" (A. Einstein)

        Was Du schreibst, ist einfach falsch.

        Michael
      • von OlafG 0
        Re: Falsch!
        Moin, "Man soll die Dinge so einfach machen wie möglich - aber nicht
        einfacher!" (A. Einstein)

        Was Du schreibst, ist einfach falsch.
        Einstein hat seine Behauptungen auch immer schön erklärt. Aber ich denke, Du feilst bestimmt noch an einer guten Erklärung, oder?

        Olaf
      • von Michael Bauer (abgemeldet) 2
        Re^2: Falsch!
        Hallo Olaf! Einstein hat seine Behauptungen auch immer schön erklärt. Aber
        ich denke, Du feilst bestimmt noch an einer guten Erklärung,
        oder?
        Wenn Du mal alle meine Postings in diese Thread gelesen hast, dann weißt Du, dass ich schon erschöpfend Auskunft gegeben habe, warum die Überlegungen von Dir und von Karl falsch sind.

        Was die Begründung von Behauptungen anbetrifft: Du schreibst:

        "Es darf bei der Lösung gar keine Rolle spielen, dass es insgesamt 40 Karten gibt."

        Damit bist Du derjenige in diesem Teilthread, der als erster eine unbegründete Behauptung aufgestellt hat. Es wäre also an Dir, diese Behauptung zu untermauern.

        Und nebenbei: Natürlich macht es einen Unterschied, wieviele Karten im Deck sind: Wenn es sehr viele Karten sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Karo-Ass beim ersten landet natürlich 25%. Wenn es für vier Spieler nur vier Karten gibt (jeder kriegt nur eine) ist die Wahrscheinlichkeit selbstverständlich 0%. Bei jeder anderen Kartenzahl pro Spieler 1 < n < ∞ liegt die Wahrscheinlichkeit irgendwo zwischen 0 und 25%. Für 10 Karten (wie mehrfach berechnet) bei rund 23 %

         
        n   | P(beide Karo-Asse in einer Hand)
        ----+---------------------------------
        1   | 0/3 = 0%
        2   | 1/7 = 14%
        3   | 2/11 = 18%
        4   | 3/15 = 1/5 = 20%
        5   | 4/19 = 21 %
        ... | ...
        10  | 9/39 = 23 %
        ... | ...
        n   | (n-1)/(4n-1)
        ... | ...
        ∞   | 1/4 = 25%
        



        HTH, Michael
      • von OlafG 0
        Re^3: Falsch!
        Hallo,

        ja OK, danke, jetzt ist es mir vollständig klar. Damit bist Du derjenige in diesem Teilthread, der als erster
        eine unbegründete Behauptung aufgestellt hat. Es wäre also an
        Dir, diese Behauptung zu untermauern.
        Das war eben so ein Bauchgefühl. Aber der Fehler bei Karls und meiner "Vereinfachung" war der: Manche Spieler haben ausser diesen Assen noch 9 weitere Karten in der Hand und manche 8 und manche 10. Und die Möglichkeiten, diese Nicht-Asse anzuordnen, unterscheiden sich eben, je nachdem, ob es 10 oder 9 oder 8 sind. Bei "unendlich" vielen weiteren Karten verschwindet dieser Unterschied.

        Alles klar soweit, danke und noch einen schönen Tag allerseits.
        Olaf
      • Re^2: Noch 'ne Lösung.
        Moin,

        richtig müßte es heißen "...mit unglaublicher Belehrungsresistenz..."

        Michael hat Recht und es ausführlich begründet.

        Gruß
        Ingo
    • Antwort von michael 0
      Re: Wahrscheinlichkeit beim Kartenspiel
      hi,
      ich möchte berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein
      sogenanntes Schweinchen im Doppelkopf ist.

      Kurz die Regeln:
      Folgende Karten gibt es beim Doppelkopf:
      Ass, 10, König, Dame, Bube in allen 4 Farben und jede Karte
      doppelt. Also insgesamt 40 Stück. Es spielen 4 Spieler mit,
      jeder bekommt 10 Karten.

      Ein Schweinchen hat man, wenn ein Spieler beide Karo Asse hat.
      wenn "ein spieler..." oder "wenn man ..." ?

      die frage ist nicht genau formuliert. was meinst du?
      - die wahrscheinlichkeit, dass man selbst beim austeilen ein schweinchen bekommt?
      - die wahrscheinlichkeit, dass irgendjemand am tisch ein schweinchen hat?
      - die wahrscheinlichkeit, dass ein schweinchen entsteht, wenn man schon ein karo as in der hand hat?

      zum ersten:
      es gibt 40 über 10 mögliche "hände" (= 40 über 10 möglichkeiten, aus 40 karten 10 auszuwählen).
      tu die 2 karo asse zusammen; es bleiben dann 38 karten, aus denen 8 ausgewählt werden; das sind 38 über 8 möglichkeiten, dass die beiden karo asse bei den 10 ausgewählten karten dabei sind.

      38 über 8 durch 40 über 10 =
      / 38 \
      \  8 /     38!        40!       38! 30! 10!    10 * 9    3
      ------ = -------- : ------ =  ------------- = ------- = -- ~ 5,8%
      / 40 \    30! 8!    30! 10!    30!  8! 40!    40 * 39   52
      \ 10 /
      


      also: 3 von 52 "händen" sind ein "schweinchen"; d.h. in 3 von 52 fällen kommt so was vor.

      das ist auch die perspektive aus der sicht des einzelspielers. er wird in 3 von 52 partien (also zu knapp 6%) feststellen, dass er ein schweinchen hat.

      jetzt stellen wir uns eine lange reihe von spielen vor. in 3 von 52 hat spieler A (im durchschnitt) das schweinchen. in 49 von 52 nicht. wenn spieler A das nicht hat, könnte es spieler B haben. auch in 3 von 52; ABER NUR, wenn es A nicht hat.
      bei 52 partien hat B das schweinchen mit der wsk. 3/52 * 49/52, bzw. das schweinchen nicht mit 49/52 * 49/52.
      die wahrscheinlichkeit, dass weder A noch B dass schweinchen haben, ist (49/52)^2.
      usw.

      die wahrscheinlichkeit, dass kein spieler ein schweinchen hat, ist also (49/52)^4. die wahrscheinlichkeit, dass irgendein spieler am tisch so was hat, ist also die gegenwahrscheinlichkeit:
      1 - (49/52)^4 ~ 21,2%,
      also in gut einem fünftel der fälle. (nicht ganz das vierfache der einzelwahrscheinlichkeit, weil die ereignisse ja nicht unabhängig sind.)

      hth
      m.
      2 Kommentare
      • von Michael Bauer (abgemeldet) 1
        Falsch!
        Hallo! also: 3 von 52 "händen" sind ein "schweinchen"; d.h. in 3 von
        52 fällen kommt so was vor.
        Bis hier her gebe ich Dir noch Recht. jetzt stellen wir uns eine lange reihe von spielen vor. in 3
        von 52 hat spieler A (im durchschnitt) das schweinchen. in 49
        von 52 nicht. wenn spieler A das nicht hat, könnte es spieler
        B haben. auch in 3 von 52; ABER NUR, wenn es A nicht hat.
        Falsch. Dass A keine Schweinchen hatte, ist keine Vorbedingung dafür, dass B Schweinchen haben kann. Es gibt nämlich entweder Schweinchen, oder es gibt sie nicht. In den 5,77% Wahrscheinlichkeit steckt schon drin, dass kein anderer Schweinchen hat. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Spieler Schweinchen hat einfach 4 * 5,77% = 23%

        Oder um es anders herzuleiten: Es gibt vier Hände. In einer dieser vier Hände liegt das eine Karo-Ass. Wenn das andere Karo-Ass in der selben Hand liegt, sprechen wir von "Schweinchen". In der Hand sind noch 9 Plätze frei, von insgesamt 39 Plätzen für das zweite Karo-Ass. (30 Plätze liegen in den anderen 3 Händen). Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 9/39 = 23%.

        Michael
      • von michael 0
        das ist nachvollziehbar
        owT
    • Antwort von Steffie 0
      Re: Vielen Dank!! owT Gruß, Steffie
      owT