Eindeutigkeit der Lsg.
Hallo,
mein Kurzzeitgedächtnis hat heute zwar seinen Tiefstand erreicht aber vielleicht sieht man so leicht ein, da es genau die eine bereits genannte Lsg. gibt.
Fangen wir mit der 5ten Stelle der 9-stelligen Zahl an. Die muß 5 sein, die 0 spielt ja nicht mit und eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn sie als Endziffer 0 oder 5 hat. Analog argumentiert man, da die 2,4,6,8 Stelle gerade und die verbleibenden Stellen 1,3,7,9 ungerade sein, also die Ziffern 1,3,7,9 haben müssen.
Nun zu den Aussagen, die sich auf mehr als eine Stelle beschränken. Die Teilzahlen 1-3, 1-6 und letztlich 1-9 müssen alle durch 3 teilbar sein. Damit sind insbesondere die Quersummen 1-3, 3-6 und 6-9 durch 3 teilbar. Daraus ergibt sich, da die 5 von der 2 und der 8 oder von der 4 und 6 umgeben wird, d.h. die Stellen 4,6 muessen die Ziffern 2,8 oder 4,6 enthalten.
Nehmen wir an, es sei die 2 und die 8. Dann müssen die Stellen 2,8 die Ziffer 4 und die 6 enthalten.
Sei die 2te Stelle die 4. Dann muessen die erste und dritte Stelle 1 und 7 enthalten, also die Stellen 1-3 147 oder 741 lauten. Dann muß die 4te Stelle eine 2 sein, denn weder 1478 noch 7418 sind durch 4 teilbar. Wir erhalten für die Stellen 1-7 1472583,1472589,7412583 oder 7412589, die sich bis auf 1472583 als nicht durch 7 teilbar erweisen. Die 8te Stelle ist zwingend die 6 und 14725836 ist nicht durch 8 teilbar.
Betrachten wir den Fall, da die 2te Stelle die 6 sei. Man folgert analog, da die erste und dritte Stelle 3 und 9 enthalten, also die Stellen 1-3 369 oder 963 lauten. Hier zeigt sich wieder, da die 4te Stelle eine 2 sein mu, denn weder 3698 noch 9638 sind durch 4 teilbar. Wir erhalten fr die Stellen 1-7 3692581,3692587,9632581 und 9632587. Hiervon liquidiert die Teilbarkeit durch 7 alle bis auf 9632581, allerdings stellt sich 96325814 als nicht durch 8 teilbar heraus. Damit ist gezeigt, da die Stellen 4,6 die Ziffern 4 und 6 enthalten muessen.
Sei nun also 2te Stelle die 2 (wir hauen absichtlich immer an der Lsg. vorbei 
). Für die erste und dritte Stelle kommen {1,3},{1,9},{3,7} oder {7,9} in Frage. Die Teilzahl 3-4 muß durch 4 teilbar sein (da die Stellen 1-2 in der Teilzahl 1-4 Vielfache von 100 darstellen und 100 durch 4 teilbar ist). Da weder 14,34,74 noch 94 dies erfüllen, muß die 4te Stelle die 6 sein. Es ergeben sich 16 Teilzahlen 1-8: 12365478, 12365498, … , 32765418 , … , 72965438
mit der Eigenschaft, daß die Ziffern 6-8 418,438,478 und 498 sind. Diese sind nicht durch 8 teilbar, was sie sein müßten (denn die Stellen 6-8 der Teilzahl 1-8 stellen Vielfache von 1000 dar und 1000 ist durch 8 teilbar).
Damit verbleibt fr die 2te Stelle die 8. Auch hier kommt für die erste und dritte Stelle {1,3},{1,9},{3,7} oder {7,9} in Frage. Analog ergibt sich, da die 4te Stelle eine 6 sein muß. Es ergeben sich wieder 16 Teilzahlen 1-8 mit den Ziffern 6-8 412,432,472 und 492. Da nur 432 und 472 durch 8 teilbar sind verbleiben insgesamt die Lsg. Kandidaten 183654729, 381654729, 189654327, 189654723, 981654327, 981654723, 789654321 und 987654321.
Die Teilbarkeit durch 7 der Teilzahl 1-7 eleminiert letztlich alle Kandidaten außer dem schon genannten 381654729.
Gruss
Enno
