Äquivalenzrelation bzw. -klassen

Hallo,

ich habe eine Frage nach Literatur:
Wir haben 2 Aufgaben, die wir lösen sollen und laut dem Übungsleiter schaffen wir das nicht alleine und sollen deswegen in Büchern nach den Aufgaben suchen, sie nachvollziehen und mit unseren Worten aufschreiben. Deswegen haben wir auch nichts vergleichbares geübt.
Das Problem ist, dass wir diese beiden Aufgaben nicht finden können!!!
Wir haben gesucht im Heuser, Fischer, Forster, Königsberger, …
Weiß jemand wo wir die Aufgaben finden bzw. möchte sich die Mühe machen uns zu erklären wie es geht?

Hier die Aufgaben:

  1. Es sei p elemnt N eine Primzahl. Wir erklären für beliebige a,b element Z die Relation a~b : (a-b)/p element Z.
    Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation in der Menge Z definiert, und bestimmen sie die Äquivalenzklasse.

-> Wir glauben, man muss zeigen, dass die Äquivalenzbedingungen gelten, wissen aber nicht wie wir das machen

  1. Es seien ~ eine Äquivalenzklasse in der Menge M und K(index)a={x element M: a~x} die zu a element M gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle a, b element M mit a ungleich b gilt: a~b K (index) a= K (index)b

Vielen Dank!

Auch hallo.

ich habe eine Frage nach Literatur:

Nur als Idee: man kann Aufgaben zu Äquivalenzklassen auch in Büchern zur Kryptografie finden ISBN 3540405089 Buch anschauen

mfg M.L.

hi,

ich habe eine Frage nach Literatur:
Wir haben 2 Aufgaben, die wir lösen sollen und laut dem
Übungsleiter schaffen wir das nicht alleine und sollen
deswegen in Büchern nach den Aufgaben suchen, sie
nachvollziehen und mit unseren Worten aufschreiben. Deswegen
haben wir auch nichts vergleichbares geübt.

man könnte die meinung vertreten, dass die aufgabe der lehrenden und der übungsleiter darin besteht, die grundlagen für die von ihnen gestellten übungen zu vermitteln.
was & wo studierst du eigentlich?

aber ich kenn das nur zu gut. das ist denen manchmal herzlich wurscht. und das muss so sein, weil das system so aufgebaut ist. die leben davon, bezahlt von steuergeldern.

Hier die Aufgaben:

  1. Es sei p elemnt N eine Primzahl. Wir erklären für beliebige
    a,b element Z die Relation a~b : (a-b)/p element Z.
    Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation in der Menge Z
    definiert, und bestimmen sie die Äquivalenzklasse.

-> Wir glauben, man muss zeigen, dass die
Äquivalenzbedingungen gelten, wissen aber nicht wie wir das
machen

ja.
äquivalenzrelationen sind abstrahierte „gleichheiten“. die 3 eigenschaften kennst du: reflexivität (jedes ding ist gleich sich selbst), symmetrie (wenn a gleich b ist, ist b gleich a) und transitivität (wenn a gleich b und b gleich c ist, ist a gleich c).

also, denk dir ein p prim vorgegeben.
ad 1:
ist a~a ?
naja: (a-a)/p = 0/p = 0 aus Z. also a~a
ad 2:
wenn a~b ==> (a-b)/p aus Z, also (b-a)/p = -(a-b)/p aus Z, also b~a
ad 3:
a~b und b~c ==> (a-b)/p aus Z, (b-c)/p aus Z
(a-b)/p + (b-c)/p = (a-b+b-c)/p = (a-c)/p aus Z

nimm bspw. p = 3
dann sind alle zahlen äquivalent, deren differenz durch 3 teilbar ist. eine typische äquivalenzklasse wäre etwa
{0, 3, 6, 9, …, -3, -6, -9, …}
aber auch
{1, 3, 4, …, -2, -5, …}

also die „restklassen“ bzgl. p

  1. Es seien ~ eine Äquivalenzklasse in der Menge M und

vermutlich „Äquivalenzrelation“

K(index)a={x element M: a~x} die zu a element M gehörige
Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle a, b element M
mit a ungleich b gilt: a~b K(index)a= K(index)b

naja: da steht nur, dass die äquivalenzklassen zu 2 äquivalenten elementen die gleiche menge sind.

prinzipiell musst du zeigen: wenn etwas äquivalent zu a ist (also in Ka), dann ist es auch in Kb, also Ka Teilmenge Kb. und umgekehrt. dann sind die mengen Ka und Kb gleich.
und dann noch den retourpfeil: wenn die klassen gleich sind, sind die elemente, die die klassen definieren, äquivalent.

zu ==>: sei also a~b
sei x aus Ka ==> x~a ==> (weil a~b, und damit) x~b ==> x aus Kb

analog umgekehrt

zu

Ich fange gerade im 1. Semester an Wirtschaftsmathe in Cottbus zu studiere. Wir habe auch Lerngruppen, aber wenn es keiner weiß und wir auch nicht wissen wen wir fragen sollen, dann fragen wir hier. Daher meine vielen Fragen. Die Übungsserie dieser Woche ist besonders schwer, weil die 5 Beweise nur mit Hilfe von Literatur wirklich gut gehen und wir diesmal zu en beiden nichts gefunden haben.

Darf ich fragen woher du das alles weißt?
Vielen Dank für die Antwort! Wir müssen das übers Wochenende erstmal durchdenken.

hi anne,

Darf ich fragen woher du das alles weißt?
Vielen Dank für die Antwort! Wir müssen das übers Wochenende
erstmal durchdenken.

bin mathelehrer. ich hab das vor 30 jahren alles mal studiert und betrachte die beiträge hier als fingerübungen, die mich fit halten. du weißt ja: „the survival of the fittest“ (darwin)
:wink:
m.

nimm bspw. p = 3
dann sind alle zahlen äquivalent, deren differenz durch 3
teilbar ist. eine typische äquivalenzklasse wäre etwa
{0, 3, 6, 9, …, -3, -6, -9, …}
aber auch
{1, 3, 4, …, -2, -5, …}

sorry, schreibfehler:
{1, 4, 7, …, -2, -5, …}

tutmalad!
m.

Hi,

Wir haben gesucht im Heuser, Fischer, Forster, Königsberger,

ich weiss ja nicht ob du das schon weisst, aber zu Fischer und Forster gibt es ein dazugehöriges Übungsbuch mit Übungsaufgaben und Lösungen (zumindest zu manchen Aufgaben).
Manche der Aufgaben der Übungsblätter aus meinem ersten und zweiten Semester waren aus diesem Buch.

Gruß,
Timo