hi,
ich habe eine Frage nach Literatur:
Wir haben 2 Aufgaben, die wir lösen sollen und laut dem
Übungsleiter schaffen wir das nicht alleine und sollen
deswegen in Büchern nach den Aufgaben suchen, sie
nachvollziehen und mit unseren Worten aufschreiben. Deswegen
haben wir auch nichts vergleichbares geübt.
man könnte die meinung vertreten, dass die aufgabe der lehrenden und der übungsleiter darin besteht, die grundlagen für die von ihnen gestellten übungen zu vermitteln.
was & wo studierst du eigentlich?
aber ich kenn das nur zu gut. das ist denen manchmal herzlich wurscht. und das muss so sein, weil das system so aufgebaut ist. die leben davon, bezahlt von steuergeldern.
Hier die Aufgaben:
- Es sei p elemnt N eine Primzahl. Wir erklären für beliebige
a,b element Z die Relation a~b : (a-b)/p element Z.
Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation in der Menge Z
definiert, und bestimmen sie die Äquivalenzklasse.
-> Wir glauben, man muss zeigen, dass die
Äquivalenzbedingungen gelten, wissen aber nicht wie wir das
machen
ja.
äquivalenzrelationen sind abstrahierte „gleichheiten“. die 3 eigenschaften kennst du: reflexivität (jedes ding ist gleich sich selbst), symmetrie (wenn a gleich b ist, ist b gleich a) und transitivität (wenn a gleich b und b gleich c ist, ist a gleich c).
also, denk dir ein p prim vorgegeben.
ad 1:
ist a~a ?
naja: (a-a)/p = 0/p = 0 aus Z. also a~a
ad 2:
wenn a~b ==> (a-b)/p aus Z, also (b-a)/p = -(a-b)/p aus Z, also b~a
ad 3:
a~b und b~c ==> (a-b)/p aus Z, (b-c)/p aus Z
(a-b)/p + (b-c)/p = (a-b+b-c)/p = (a-c)/p aus Z
nimm bspw. p = 3
dann sind alle zahlen äquivalent, deren differenz durch 3 teilbar ist. eine typische äquivalenzklasse wäre etwa
{0, 3, 6, 9, …, -3, -6, -9, …}
aber auch
{1, 3, 4, …, -2, -5, …}
also die „restklassen“ bzgl. p
- Es seien ~ eine Äquivalenzklasse in der Menge M und
vermutlich „Äquivalenzrelation“
K(index)a={x element M: a~x} die zu a element M gehörige
Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle a, b element M
mit a ungleich b gilt: a~b K(index)a= K(index)b
naja: da steht nur, dass die äquivalenzklassen zu 2 äquivalenten elementen die gleiche menge sind.
prinzipiell musst du zeigen: wenn etwas äquivalent zu a ist (also in Ka), dann ist es auch in Kb, also Ka Teilmenge Kb. und umgekehrt. dann sind die mengen Ka und Kb gleich.
und dann noch den retourpfeil: wenn die klassen gleich sind, sind die elemente, die die klassen definieren, äquivalent.
zu ==>: sei also a~b
sei x aus Ka ==> x~a ==> (weil a~b, und damit) x~b ==> x aus Kb
analog umgekehrt
zu