Geometrisches Problem

Hallo Matheexperten,
hab ein kleines geometrisches Problem:

Ich habe die Bogenlänge (Lb) und die dazugehörige Sehnenlänge (l) jetzt hätte ich gerne als Ergebnis den Radius des Bogens.

Hab schon diverse Formeln umgestellt, verknüpft etc… aber scheitere daran, daß ich die Formel letztlich nicht nach r auflösen kann.

Hat jemand eine Idee?

Danke,
Rudolf

Hallo Rudolf

Ich nehme an wir sprechen von Kreisbogen.

Mit
Lb=2*Pi*r*(alpha/360°)
und
l=2*r*Sin(alpha/2)
hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

Löse eine Gleichung nach alpha auf und setze den erhaltenen Term in die andere Gleichung ein.

Wenn das Problem nur darin besteht, eine Gleichung nach r aufzulösen, denn dürfte ein CAS eine grosse Hilfe sein. Ich benutze z.B. den Taschenrechner Voyage200 von TI, aber auch PC-Software wie „Mathematica“ können solche Probleme lösen.

Gruss: Christian

Hallo Christian

Mit
Lb=2*Pi*r*(alpha/360°)
und
l=2*r*Sin(alpha/2)
hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2
Unbekannten.

Richtig, diese Formeln hab ich auch…

Löse eine Gleichung nach alpha auf und setze den erhaltenen
Term in die andere Gleichung ein.

…auch noch kein Problem aber…

Wenn das Problem nur darin besteht, eine Gleichung nach r
aufzulösen, denn dürfte ein CAS eine grosse Hilfe sein. Ich
benutze z.B. den Taschenrechner Voyage200 von TI, aber auch
PC-Software wie „Mathematica“ können solche Probleme lösen.

…über derlei technisches Wunderwerk verfüge ich leider nicht!
Ich hab nen normalen Taschenrechner und Excel! Mein bisheriges Leben ging damit (sogar Maschbaustudium) aber ich merke, ich komme nun an Grenzen :wink:
Daher wird mir wohl nix anderes übrig bleiben als mich an mein Ergebnis empirisch heran zu tasten!

Gruss und trotzdem Danke,
Rudolf

Hallo Christian,

Lb=2*Pi*r*(alpha/360°)
l=2*r*Sin(alpha/2)

Löse eine Gleichung nach alpha auf und setze den erhaltenen
Term in die andere Gleichung ein.

ja, genau, und wenn Du dies dann auch noch tust und zehn Sekunden später

S = 2 r sin(B/(2 r))

(S = Sehnenlänge, B = Bogenlänge, r = Radius)

auf dem Papier stehen hast, kannst Du (hoffentlich) sofort sehen, daß diese Gleichung eine Struktur besitzt, die keine Auflösung nach r gestattet (*), und dem Ratsuchenden erzählen, daß er gerade *kein* CAS braucht, weil auch das beste CAS hier nichts ausrichten kann, sondern sich mit einer numerischen Lösung zufrieden geben muß, die ihm ein geeigneter Algorithmus zur numerischen Nullstellen-Bestimmung (z. B. Sekantenmethode etc.) liefert.

(*) Beispiele für solche Gleichungen lassen sich leicht konstruieren: „x + ln(x) = 3“ wäre etwa eins, oder „ex = 5 x“, oder „xx = 2“. @Rudolf: Über das Wissen, daß es „unauflösbare“ Gleichungen gibt, sollte ein Ingenieur verfügen.

Ich benutze z.B. den Taschenrechner Voyage200 von TI, aber auch
PC-Software wie „Mathematica“ können solche Probleme lösen.

Mathematica kann dieses Problem lösen, aber nicht CAS-mäßig, sondern nur numerisch.

Gruß
Martin

Hallo Martin,

„ex = 5 x“, oder „xx = 2“. @Rudolf:
Über das Wissen, daß es „unauflösbare“ Gleichungen gibt,
sollte ein Ingenieur verfügen.

Das ist mir durchaus bekannt! Allerdings gibt es diverse mathematische Kniffe mit denen man scheinbar „unauflösbare“ Gleichungen dann doch auflösen kann. Ich bin schon zu lange aus der höheren Mathematik draußen um das alles noch drauf zu haben! Wenn „mein“ Gleichungssystem eben zu den wirklich unlösbaren gehört dann ist das eine Antwort mit der ich auch leben kann. Hab das Problem inzwischen empirisch am CAD-gelöst. (Ein Ingenieur weiß sich eben zu helfen :wink:

Gruß,
Rudolf

PS: Nicht so sehr den Oberlehrer spielen! Zumal wenn man selber zu feige ist Details der Vita preis zu geben!

Hallo Rudolf,

Das ist mir durchaus bekannt!

na, dann hab ich Dir ja schwer unrecht getan.

Allerdings gibt es diverse mathematische Kniffe mit denen man
scheinbar „unauflösbare“ Gleichungen dann doch auflösen kann.

Das sei mal dahingestellt (kommt darauf an, was man unter einem mathematischen Kniff und einer scheinbar unauflösbaren Gleichung verstehen will). Bei einer Gleichung der Form a = x sin(b/x) gibt es jedoch nichts daran zu zweifeln, daß eine Umformung zu „x = …“ unmöglich ist.

aus der höheren Mathematik draußen

Ach geh, das hat doch mit HM nichts zu tun. Die HM fängt doch bei der Differentialrechnung an.

Hab das Problem inzwischen empirisch am
CAD-gelöst. (Ein Ingenieur weiß sich eben zu helfen :wink:

Ende gut, alles gut.

Gruß
Martin

zu spät für eine Antwort???
Hallo Martin, Hallo Rudolf!

Zunächst mal Entschuldigung, dass ich erst jetzt antworte (bei uns ist die Hölle los.)

Danach ein Versuch einer Rechtefertigung: Hätte ich mein CAS dabei gehabt, dann hätte ich es ausprobiert, und dann hätte ich auch meine Antwort nicht so formuliert. (soviel Konjunktiv in einem Satz, da wird mir fast übel…)

Ich werde dieses Problem bei unserem nächsten Mathe-Unterricht mal zur Sprache bringe, mal sehen was unsere Profis dazu meinen… Im Erfolgsfall melde ich mich nochmal, auch wenns jetzt „nichts mehr bringt“. (leider sind gerade Semesterferien, könnte also noch ein paar Wochen dauern…)

SoLong!
Gruss: Christian