Hey,
wie integriere ich:
1/ (x^3+x^2)
von 0 bis oo?
Ich habe umgeformt:
1/( x^3 + x^2) = 1/( x^2 * (x+1) ) = 1/(x^2) + 1/(x+1)
Das integriert:
-x + ln(x+1)
Wie benutze ich nun die Limits?
Danke!
Lars
wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste dein therm nach PBZ ungefähr so aussehen:
-1/x + 1/x² + 1/(x+1)
integriert:
-ln|x| - 1/x + ln|x+1| von 0 bis unendlich
das mit den grenzen wird schwierig 
da hast ja dann fast nur +unendlichs, -unendlichs und 1/0 (was du ja nicht machen darfst…)
komisch!
das mit den grenzen wird schwierig
+unendlichs, -unendlichs und 1/0 (was du ja nicht machen
darfst…)
komisch!
Aber es muss doch möglich sein, die maximale Fläche unter der Kurve auszurechnen, da 1/(x^2+x^3) ja assymptotisch zu y=0 und x=0 ist. Und das müsste doch theoretisch so gehen, oder?
da 1/(x^2+x^3) ja assymptotisch zu y=0 und
x=0 ist. Und das müsste doch theoretisch so gehen, oder?
In meinen Augen liegt die Antwort auf dein Problem in dieser Aussage!
Asymptotisch gegen x=0 und y=0 heißt ja dass die achsen nie erreicht werden => die fläche wird unendlich groß
gruß
Asymptotisch gegen x=0 und y=0 heißt ja dass die achsen nie
erreicht werden => die fläche wird unendlich groß
Die Summe der Zahlenfolge 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … ist ja auch nicht unendlich, sondern durch eine Formel gegeben, in dem Falle 1.
Auch ist die Fläche unter einer Gauss’schen Kurve 1, und die ist ja wohl auch assymtotisch.
Insofern, wieso gibt es dabei maximal Werte und in meinem Fall nicht? Müsste es nicht auch einen maximal Wert geben?
Gruß,
Lars
Asymptotisch gegen x=0 und y=0 heißt ja dass die achsen nie
erreicht werden => die fläche wird unendlich groß
Verblüffend, aber wahr: Eine solche Fläche kann unendlich groß sein, sie kann aber auch endlich groß sein! Es gibt keine pauschale Antwort, sondern die Sache ist abhängig vom Einzelfall, d. h. von der betreffenden Funktion.
Zwei Beispiele: Die Fläche unter dem Graph von f(x) = 1/x2 von x = 1 bis ∞ ist endlich; und zwar hat sie den Flächeninhalt 1.
Die Fläche unter dem Graph von f(x) = 1/x von x = 1 bis ∞ ist dagegen unendlich groß!
Die Summe der Zahlenfolge 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … ist ja auch
nicht unendlich, sondern durch eine Formel gegeben, in dem
Falle 1.
Stimmt, aber andererseits wächst 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … über jede Grenze.
Auch ist die Fläche unter einer Gauss’schen Kurve 1, und die
ist ja wohl auch assymtotisch.Insofern, wieso gibt es dabei maximal Werte und in meinem Fall nicht?
Das ist fast eine philosophische Frage. Es „ist eben so“
Wenn Du unendlich oft eine endlich große Menge von irgendetwas auf einen Haufen wirfst, wobei die Menge mit jedem weiteren Mal abnimmt, ist es sowohl möglich, dass der Haufen über jede Grenze wächst, als auch dass er sich einer bestimmten endlichen Größe annähert. Ob in einem konkreten Fall das eine oder das andere zutrifft, hängt von der genauen Gesetzmäßigkeit ab, wie die Zufügemengen kleiner werden.
Gruß
Martin
Zwei Beispiele: Die Fläche unter dem Graph von f(x) =
1/x2 von x = 1 bis
∞ ist endlich; und zwar hat sie den
Flächeninhalt 1.Die Fläche unter dem Graph von f(x) = 1/x
von x = 1 bis ∞ ist dagegen
unendlich groß!
Was bedeutet dies für meinen Fall? 1/ (x^2+x^3) ? Woher weiß ich, ob sich dies wie Fall 1 oder 2, also endlich oder unendlich verhält?
ln|x+1| - ln|x| - 1/x … für x->oo, 1/x -> 0, aber was ist mit ln(x+1)-ln(x) = ln(1/x)? Geht das gegen -oo?
Angenommen von 1 bis oo, für 1 wird es ln2 - 1, also insgesamt dann -oo - ln2 + 1, also ist die Fläche unendlich groß?
Danke!!!
Lars
Hallo,
Was bedeutet dies für meinen Fall? 1/ (x^2+x^3) ? Woher weiß
ich, ob sich dies wie Fall 1 oder 2, also endlich oder
unendlich verhält?
das musst Du ausrechnen. Die Partialbruchzerlegung von 1/(x2 + x3) liefert
f(x) = 1/(x2 + x3) = 1/x2 – 1/x + 1/(x + 1)
Die Stammfunktion dazu lasst sich sofort hinschreiben:
F(x) = –1/x – ln(x) + ln(x + 1) für x > 0
= –1/x + ln((x + 1)/x)
= –1/x + ln(1 + 1/x)
Für sehr große x geht 1 + 1/x gegen 1 und somit ln(1 + 1/x) gegen 0. Dann ist F(x) ≈ –1/x und das geht für x → ∞ gegen 0.
Für sehr kleine x ist 1 + 1/x ≈ 1/x; dann ist F(x) ≈ –1/x + ln(1/x) = –1/x - ln(x). Für x → 0 geht –1/x gegen –∞ und ln(x) geht ebenfalls gegen –∞. Die Funktion –1/x geht aber schneller gegen –∞ als die Funktion ln(x). Das kann man sich am Zehnerlogarithmus leicht klarmachen: Für x = 1/1000 ist –1/x = –1000, aber log(x) ist erst –3. Für x = 1/1000000 ist –1/x bereits –1000000, aber log(x) ist erst –6, und so weiter.
Zusammengefasst:
limx → 0 F(x) = –∞
limx → ∞ F(x) = 0
Das bedeutet, dass das „vertikale“ Flächenstück gegen x = 0 hin (nach links begrenzt durch die y-Achse) unendlich groß ist, das „horizontale“ Flächenstück gegen x → ∞ (nach unten begrenzt durch die x-Achse) dagegen endlich groß.
Zieht man die linke Grenze für das horizontale, nach rechts unendlich ausgedehnte Flächenstück bei einem beliebigen x-Wert L > 0, dann kann man seinen Flächeninhalt A als Funktion von L angeben:
A(L) = F(∞) – F(L) = 0 – (–1/L + ln(1 + 1/L)) = 1/L – ln(1 + 1/L)
Für L = 1 ergibt sich A(1) = 1 – ln(2) ≈ 0.30685
Gruß
Martin
Uneigentliches Integral
Hi,
Du beschreibst hier ein sog. uneigentliches Integral. Ohne jetzt Dein Beispiel gerechnet zu haben: Du ersetzt das ∞ durch einen Parameter (z.B. t), integrierst dann, setzt die Grenzen ein, von 0 bis t oder wie auch immer, und bestimmst anschließend den Grenzwert für t → ∞.
Weitere Informationen unter http://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral…
oder im Mathematik-Schülerduden II unter «Uneigentliches Integral».
Gruß,
V.
Super!! Danke, habe es verstanden!!!
Lars