Partialbruchzerlegung

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich möchte folgende Funktion eine Partialbruchzerlegung machen:

f(x)=9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

Natürlich hab ich schon was gemacht und wollte nur mal fragen ob mir jemand sagen kann ob ich alles richtig gemacht habe.

Die komplette Polynomdivision schreibe ich nicht mehr auf, ich schreibe gleich die Nullstllen auf.

x = -1 ist doppelte Nullstelle
x = 2 ist einfache Nullstele

=>

\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

auf Hauptnenner bringen

=>

\frac{A*(x+1)^2+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2)}{x^3-3x-2}=9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

da auf der linken und rechten Seite der Nenner gleich ist, multiplizieren mit dem Nenner, sodass wir nur noch den Zähler haben.

=> A*(x+1)^2+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 9*(3x^4-2x^3+5x^2-4x+5)

Um die drei Konstanten zu bestimmen setze ich nun die jeweiligen Nullstellen in die dazugehörigen Funktionen ein.

x = -1 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 99 einsetzen in B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 3C => C=99
x = 2 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 441 einsetzen in A*(x+1)^² = 9A => 49
x = 0 einsetzen in 9*(3x^4-2x³+5x²-4x+5) = 45 einsetzen in A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = A - 2B - 2C => Werte für A und C einsetzen => 49 - 66 -2B | umstellen nach B bringt.

\frac{49-66}{2}=-8,5

Das heißt es muss irgendwo ein Fehler sein sonst stände hier nicht -8,5 sondern 45 oder???

Das Ergebniss wäre:

49*\frac{1}{x-2}-8,5*\frac{1}{x+1} + 33*\frac{1}{(x+1)^2}= 9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

Ich hoffe ich habe alles richtig gemacht :smile: freue mich auf eure Antworten

Liebe Grüße Matthias

#2

Hallo,

hi

ich möchte folgende Funktion eine Partialbruchzerlegung
machen:

f(x)=9*\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=9*\frac{3x^4-2x^3
+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

dieser ansatz ist meiner meinung nicht korrekt, ich meine man müsste den letzten therm wie folgt abändern:

\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{(x+1)^2}=9*\frac{3x^4-2x^3
+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

da das x im nenner ja quadratisch vorkommt.
viel erfolg!
lg niemand
ps: bitte melden, wenn ich mich irren sollte!

#3

Hossa :smile:

Dein Ansatz war schon völlig korrekt. Du hast nur eine winzige Kleinigkeit vergessen. Damit die PBZ klappt, muss der Grad des Zählerpolynoms kleiner sein als der Grad des Nennerpolynoms. Also musst du vorab eine Polynomdivision durchführen und die PZB mit dem Restterm durchführen:

\frac{f(x)}{9}=\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}=3x-2+\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}

Den Faktor 9 habe ich der Einfachheit halber „auf die andere Seite gebracht“. Den nachher nicht vergessen.

Deine Nullstellen stimmen, also lautet die PZB:

\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}

Den Rest machst du einfach, wie zuvor…

Viele Grüße

Hasenfuß

#4

Hallo Hasenfuß :smile:,

danke für deine schnelle und tolle Antwort, ich werde es im laufe des Tages nochmal neu rechnen, es freut mich, dass ich es ansonsten aber richtig habe :smile:

Danke nochmal Gruß Matthias

#5

Hallo niemand :smile:,

ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass das so richtig ist und Hasenfuß hat auch nichts daran auszusetzen gehabt.

Gruß Matthias

#6

hallo
ja, dass mit der polynomdivision habe ich vergessen^^
aber ich meine immernoch, dass man jedenfalls hier

\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C
}{(x+1)^2}

diesen ansatz wählen sollte:
\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D
}{(x+1)^2}
da im dritten therm im zähler auch ein x vorhanden sein kann, und die bedingung, dass der nenner um einen grad grösser ist, immernoch erfülllt ist. oder mache ich mir eine falsche überlegung??
lg niemand

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#7

Hallo,

der Ansatz

\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}

von Hasenfuß ist richtig. Der Zähler des letzten Bruchs muss C lauten, weil die entsprechende Nullstelle reell ist (nämlich –1). Erst sobald sie komplex ist, muss dort ein Cx + D hin, und im Nenner dann ein Term der Form x2 + px + q (bei einer einfachen komplexen Nullstelle), oder allgemein (x2 + px + q)n mit n = die Vielfachheit der Nullstelle.

Hier stehs nochmal ganz genau:

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

Gruß
Martin

‚Term‘ kommt von lat. ‚terminus‘ –> ohne ‚h‘
‚Temperatur‘ von lat. temperare –> ohne ‚h‘
‚Thermometer‘ von griech. ‚thermós‘ –> mit ‚h‘

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#8

Hallo,

also ich habe die Ploynomdivision selbst nochmal versucht und komme jetzt nach langem Fehlersuchen auch auf dein Ergebniss :smile:

Aus:

\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

folgt nach Polynomdivision:

\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}

ich habe dann einfach weitergerechnet.

wie gesagt der Nener ist gleich, also sind auch die Nullstellen gleich.

=> A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 9*(14x²-4x+1)

=>
x = -1 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9*19 = 171 einsetzen in A*(x+1) + B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = -3C => C=-57
x = 2 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9*49 einsetzen in A*(x+1)^² = 9A => A=49
x = 0 einsetzen in 9*(14x²-4x+1) = 9 einsetzen in A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = A - 2B - 2C => Werte für A und C einsetzen => 49 + 114 - 2B | umstellen nach B bringt.

2B = 49 + 114
B = 9-((49 + 114)/2) = 77

Nun habe ich einfach
x=3 eingesetzt

49+77*\frac{1}{4}-57*\frac{1}{16}=\frac{14*9-12+1}{27-9-2}*9

und

erhalte 64,6875 = 64,6875 :smile:

Ich denke mal das ist jetzt richtig oder?

vielen Dank für deine Hilfe, Gruß Matthias

#9

Hallo,

Aus

\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2}

folgt nach Polynomdivision:

\frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}

naja, drücks doch einfach als Gleichung ganz präzise aus:

\frac{3x^4-2x^3+5x^2-4x+5}{x^3-3x-2} = 3x - 2 + \frac{14x^2-4x+1}{x^3-3x-2}

wie gesagt der Nener ist gleich,

Was meinst Du denn damit? Der PBZ-Ansatz besteht hier aus einer Summe dreier Brüche, von denen jeder einen anderen Nenner hat.

also sind auch die Nullstellen gleich.

??

A*(x+1)²+B*(x+1)*(x-2)+C*(x-2) = 9*(14x²-4x+1)

Richtig. Jetzt multiplizierst Du beide Seiten aus bis Du die Gleichung in der Form

(…) x2 + (…) x + (…) = … x2 + … x + …

dastehen hast. In den (…)-Klammern links stehen dann bestimmte Linearkombinationen von A, B, C (also z. B. C – B + 2A = –36) und die rechten „…“ sind irgendwelche Zahlen. Dann stellst Du einen Koeffizientenvergleich an, also hier dreimal (…) = …

Dadurch erhältst Du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten A, B, C. Es lautet hier:

A + B = 126
2A – B + C = –36
A – 2B – 2C = 9

Löse es und dann brauchst Du das Ergebnis nur noch in der finalen Form aufzuschreiben.

x = -1 einsetzen in 9*(14x²-4x+1)

Vergiss das. Bei der PBZ werden keine Nullstellen irgendwo eingesetzt.

Gruß
Martin

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#10

Hallo Martin,

du sagtest,

Dadurch erhältst Du ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei
Gleichungen für die drei Unbekannten A, B, C. Es lautet hier:

A + B = 126
2A – B + C = –36
A – 2B – 2C = 9

Löse es und dann brauchst Du das Ergebnis nur noch in der finalen
Form aufzuschreiben.

Ich habe es ausgerechnet

Für A und B erhalte ich 63.

Denn 126 - 63 = 63
=>63 = 63 = 126

und fuer C ist es jetzt nur noch einsetzen, => C = 99

wenn ich das aber in meine Ausgangsformen einsetze stimmt das nicht, was hab ich falsch gemacht?

Gruß Matthias

#11

A + B = 126
2A – B + C = –36
A – 2B – 2C = 9

Für A und B erhalte ich 63.

Nee. Rechne nochmal. Die Lösung des LGS ist A = 49, B = 77, C = –57.

Martin

PS: Du folgerst hoffentlich nicht aus A + B = 126, dass A und B dann beide die Hälfte von 126 sein müssen? Das wäre natürlich – sorry – grober Unfug. A + B = 126 ist zwar erfüllt, wenn Du A = B = 63 setzt, aber es ist genausogut erfüllt für z. B. A = 99 und B = 27 und noch unendlich viele weitere Kombinationen. Welche A-B-C-Kombination letztlich „die richtige“ ist, entscheiden alle drei Gleichungen zusammen.

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#12

Hallo Martin,

du hast recht, ich habe tatsäächlich so gedacht.

PS: Du folgerst hoffentlich nicht aus A + B = 126, dass A und B dann beide die Hälfte von 126 sein müssen? Das wäre natürlich – sorry – grober Unfug. A + B = 126 ist zwar erfüllt, wenn Du A = B = 63 setzt, aber es ist genausogut erfüllt für z. B. A = 99 und B = 27 und noch unendlich viele weitere Kombinationen. Welche A-B-C-Kombination letztlich „die richtige“ ist, entscheiden alle drei Gleichungen zusammen.

Ich habe mir das ganze mal bei Wikipedia angesehen, http://de.wikipedia.org/wiki/Lineares_Gleichungssystem und muss leider sagen, dass ich sowas schonmal in einem Buch gesehen habe aber selbst noch nie gemacht habe :frowning: deshalb kam ich auch garnicht auf die Idee das so zu lösen aber wie du siehst, habe ich in meiner rechnung die gleichen Ergebnisse raus, was mich natürlich sehr freut :smile:

Danke für deine Hilfe, du hast mir wirklich sehr geholfen.

lg Matthias