Hallo!
Wer kann mir mit dem folgenden Problem helfen?
Ich will die Funktion sin(x)/(1-x^2) integrieren. Ist denn mit einen Bruch, bei dem im Zähler eine Winkelfunktion steht, eine Partialbruchzerlegung ausführbar?
sin(x)/(1-x^2)=A/(1-x)+B/(1+x)
Das ist der Ansatz, aber wie bestimmt man A und B?
Gruß Gunter
Hallo Gunter.
sin(x)/(1-x^2)=A/(1-x)+B/(1+x)
Das ist der Ansatz, aber wie bestimmt man A und B?
Zunächst einmal spaltest Du den Sinus multiplikativ ab und zerlegst nur den rationalen Teil,
\frac{\sin(x)}{1-x^2}
= \sin(x) \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right).
Von dieser Identität kannst Du Dich am einfachsten überzeugen, indem Du rückwärts ausmultiplizierst. Wenn Du Deinen Ansatz mit A und B weiterverfolgst, dann schreibst Du
\frac{1}{1-x^2} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x}
und multiplizierst die Gleichung mit beiden Nennern. Das ergibt
1 = A(1-x) + B(1+x).
Nun setzt Du für x einmal Eins und einmal minus Eins ein und löst die entstehenden Gleichungen.
Dananch stehst Du allerdings vor dem deutlich schwierigeren Problem, die
Integrale
\int\mathrm{d}x, \frac{\sin(x)}{1\pm x}
zu lösen. Sie haben leider keine elementaren Stammfunktionen und Du landest bei dem transzendenten Funktionen Si(x) (Integralsinus) und Ci(x) (Integralkosinus), siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus.
Liebe Grüße,
The Nameless
Hallo Namenloser!
Vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe hier viel zu kompliziert gedacht, stelle ich gerade fest.
Gruß Gunter