Stammfunktion von
sin(x)sin(2x)
Könnte mir da wer helfen, ich komm einfach nicht drauf.
thx
pezi
Mathematica liefert als Ergebnis
2/3*sin(x^3)^2
Hallo pezi,
Stammfunktion von
sin(x)sin(2x)
Mit dem Additionstheorem sin(a+b) = sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) erhält man
sin(2x) = sin(x+x)
= sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)
= 2sin(x)cos(x),
was zu
sin(x)sin(2x) = 2sin(x)sin(x)cos(x)
führt. Nun lässt sich folgende Substitution vollziehen:
y = sin(x)\*sin(x), also
dy = 2sin(x)cos(x)dx
Aus sin(x)sin(2x)dx wird somit
sin(x)sin(2x)dx = 2sin(x)sin(x)cos(x)dx
= sin(x)dy
= sqrt(y)dy
Somit ist das Problem zurückgeführt auf das Auffinden einer Stammfunktion der Wurzelfunktion. Bis auf eine additive Konstante erhält man als Stammfunktion:
F(y) = 2/3\*y^(3/2)
Rücksubstitution ergibt eine Stammfunktion von sin(x)sin(2x):
F(x) = 2/3\*sin(x)^3.
Die Menge der Stammfunktionen von sin(x)sin(2x) ist somit gegeben durch
{ R→R, x→2/3\*sin(x)^3+C : C∈R }.
Viele Grüße
Jens
Hallo softwareschmied,
Mathematica liefert als Ergebnis
2/3*sin(x^3)^2
Also mein Mathematica liefert als Ergebnis
1/6(3Sin[x]-Sin[3x]).
Dies entspricht wegen
3Sin[x]-Sin[3x] = 3Sin[x]-Sin[x+2x]
= 3Sin[x]-Sin[x]Cos[2x]-Sin[2x]Cos[x]
= 3Sin[x]-Sin[x]Cos[2x]-2Sin[x]Cos[x]Cos[x]
= Sin[x](3-Cos[x+x]-2Cos[x]Cos[x]
= Sin[x](3-Cos[x]Cos[x]+Sin[x]Sin[x]-2Cos[x]Cos[x])
= Sin[x](3+Sin[x]^2-3Cos[x]^2)
= Sin[x](3+Sin[x]^2-3(1-Sin[x]^2))
= Sin[x](3+4Sin[x]^2-3)
= 4\*Sin[x]^3
der in meinem anderen Antwort-Artikel angegebenen Lösung von 2/3sin[x]^3.
Dass
2/3*sin(x^3)^2
nicht die Stammfunktion von sin(x)sin(2x) sein kann, erkennt man insbesondere anhand der Periodizität der beiden Funktionen. Funktion und Stammfunktion müssen dieselbe Periodenlänge haben. Da sin(x)sin(2x) die Periodenlänge 2π hat, 2/3*sin(x^3)^2 hingegen eine aperiodische Funktion ist, kann sin(x)sin(2x) nicht die Ableitung von 2/3*sin(x^3)^2 sein.
Viele Grüße
Jens
Danke daß du mich auf diesen Fehler aufmerksam gemacht hast. Habe statt eckiger runde Klammern verwendet. (Anfängerfehler)
Schöne Grüße
Stammfunktion von
sin(x)sin(2x)
Hallo pezi,
ein anderer Lösungsweg wäre dieser:
In Deiner Formelsammlung kannst Du unter „Trigonometrie/ Additionsthereme“ nachlesen, daß
cos(a) - cos(b) = -2 sin((a+b)/2) sin((a-b)/2)
Diese Gleichung ist prima für Dich, weil auf der rechten Seite das Produkt zweier Sinus steht. Da Dein Produkt jedoch „sin(x) sin(2x)“ ist, mußt Du als erstes ausrechnen, welche Werte Du für a und b wählen mußt, damit (a+b)/2 = x und (a-b)/2 = 2x ist. Das ist schnell gemacht und das Ergebnis ist: a = 3x und b = -x. Dieses a und dieses b eingesetzt in die obige Gleichung liefert:
cos(3x) - cos(-x) = -2 sin((3x+(-x))/2) sin((3x-(-x))/2)
~
[[[cos(-x) = cos(x)]]]
~
cos(3x) - cos(x) = -2 sin(x) sin(2x)
~
[[[durch -2 dividieren und Seiten vertauschen]]]
~
sin(x) sin(2x) = -1/2 (cos(3x) - cos(x))
Zu der Funktion auf der rechten Seite kannst Du leicht eine Stammfunktion finden.
Mit freundlichem Gruß
Martin