Hallo Leute,
ich schreibe gerade mein Fachreferat zur Eulerschen Zahl und wollte wissen wieso die Funktion e^x und lnx für alle möglichen, in der Natur vorkommenden, Ereignisse verwendet wird. Wieso ausgerechnet zur Basis e?
Danke schonmal
Hallo,
rein mathematisch könnte mann statt e irgendeine x-beliebige Zahl nehmen und dann den Vorfaktor sowie Exponent „hinbiegen“.
Das hat aber den Nachteil, dass diese Faktoren nicht einfach nur „1“ sind und beim Integrieren bzw. Ableiten immer wieder neue Faktoren dazukommen.
Das ist rechentechnisch wenig praktisch.
Gruss,
TR
danke für die schnelle antwort
das war mir soweit schon klar, ich glaub ich hab die frage falsch formuliert. ich meine:
wenn ich jetzt zb irgendnen exponentialen wachstum von bakterien habe der sich zb durch f=2*e^x darstellen lässt, warum ist dann bei solchen sachen immer e die basis? warum ist es nicht standardmäßig irgendeine andere zahl?
ich habe mal etwas im internet gefunden wo es hieß das e^x dafür geeignet ist um vorgänge darzustellen deren zunahme dem jeweiligen betrag entspricht. verstehen tu ich das aber nciht ganz.
hi,
ich schreibe gerade mein Fachreferat zur Eulerschen Zahl und
wollte wissen wieso die Funktion e^x und lnx für alle
möglichen, in der Natur vorkommenden, Ereignisse verwendet
wird. Wieso ausgerechnet zur Basis e?
die zahl e kommt in der „natur“ (d.h. hier: der mathematik) so ähnlich vor wie pi. pi ist (u.a.) das verhältnis von umfang und durchmesser von kreisen. e ist die basis der jener exponenzialfunktion, die exakt gleich ihrer ableitung ist. oder: e ist die basis jener logarithmusfunktion, die (i.w.) das integral der kehrwertfunktion ist. usw. usf.
du musst da ein bisschen an differenzial- und integralrechnung vorausdenken.
m.
also praktisch meinst du
e ist einfach die basis dieser funktionen wie sie in der natur vorkommen und ist nunmal dadurch definiert?
ich habe die herleitung mit (1+1/n)^n gemacht
Hi Marvin,
also bei der Antwort muß man ein bisschen unterscheiden.
- Eine der Eigenschaften der eulerschen Zahl, bzw. der Funktion e^x
Sie läßt sich leicht differenzieren und integrieren, was sich aus der Darstellung dieser Funktion als Potenzreihe leicht sehen läßt. Das sagte ja auch schon der Vorredner. - Wachstums, oder Zerfallprozesse: Selbstverständlich kann man sie beliebig formulieren, egal ob man jetzt e als Basis nimmt oder nicht.
- exponentielle Wachstumsprozesse charakterisieren sich dadurch, wenn die Änderungsrate einer Menge abhängig ist von der Größe der Menge, also die recht übesichtliche Diff’gleichung: dN/dt=k*N erfüllen
Praktisch gesehen: Wenig Karnickel -> wenig Wachstum, viele Karnickel -> viel Wachstum.
Analog beim Zerfallsprozess: Viel Bierschaum-> größere Abnahme des Schaumes, wenig Schaum -> geringere Abnahme des Schaumes
Das ist wohl das, was Du im Internet zur Geeignetheit von e^x gelesen und nicht verstanden hast. Im Grunde doch recht leicht zu veranschaulichen.
Die mathematische Lösg. der ob.g. DGL lautet übrigens N=N.*e^(kt) für den Wachstumsprozess. Und da ist sie schon wieder… die eulersche Zahl 
Joachim
P.S: Marvin42 hört sich ganz nach Douglas Adams an. Ich hoffe Du bist so wissend, aber nicht so depressiv wie Marvin!?!!
Joachim
- Wachstums, oder Zerfallprozesse: Selbstverständlich kann
man sie beliebig formulieren, egal ob man jetzt e als Basis
nimmt oder nicht.
Die Basis 2 ist auch sehr beliebt. Die Zerfallsgeschwindigkeit radioaktiver Isotope wird beispielsweise in Halbwertzeiten angegeben.
Hallo,
ich schreibe gerade mein Fachreferat zur Eulerschen Zahl und
wollte wissen wieso die Funktion e^x und lnx für alle
möglichen, in der Natur vorkommenden, Ereignisse verwendet wird.
nicht für „alle möglichen“ Vorgänge, sondern bei solchen, bei denen sich eine Mengengröße nach dem Gesetz „Zuwachs proportional Bestand“ ändert. Jeder Prozess mit dieser Charakteristik wird durch das Anfangswertproblem
f’(x) = k f(x) und f(0) = f0
beschrieben. Darin bezeichnet f die Mengengröße und x kann man als Zeit interpretieren. Wie man herleiten kann, ist die eindeutig bestimmte Lösung
f(x) = f0 ax
wobei die Basis a gegeben ist durch
a = ek
mit der Eulerschen Zahl e = limn → ∞ (1 + 1/n)n ≈ 2.71828…
Man kann die Lösung also auch gleich so schreiben:
f(x) = f0 ek x
Wieso ausgerechnet zur Basis e?
e purzelt einfach bei der Berechnung der Lösung des einfachsten Erste-Ordnung-Anfangswertproblems heraus, nämlich f’(x) = f(x) und f(0) = 1. Dessen Lösung ist f(x) = ex.
Gruß
Martin
Da stelle mir uns ma jantz dumm
Fangen wir also an:
du hast 1 € aufm Konto und 100% Zinssatz, Dann hast du nach 1 Jahr 2 €.
Moment, sachse dann, warum verdient ihr das ganze Jahr an meinem Geld, und ich kriege erst am Jahresende meine Zinsen. O.K, sagt die Bank, Mache mers halbhährlich, also 50% pro Halbjahr - also 1€ wird 1,5 €, 1,5 € wird 2,25 € - schon etwas mehr.
Moment, sachse dann, warum nicht vierteljährlich, … oder monatlich,… oder täglich, … oder sekundlich, und was meinse, was du dann am Jahresende aufm Konto Hättest? ÄÄÄÄÄÄHHHH, vielmehr e €.
So simpel, so allgemein, so schwierig, Zoelomat
z.B. Kettenlinie:Wenn man eine Kette zwischen zwei Punkten so aufhängt
daß sie nicht gespannt ist sondern tief durchhängt bildet sie annähernd
die Form einer Normparabel. Viel genauer entspricht sie aber der Form
von y=e^x
Begründen kann ich das aber auch nicht.
Gruß
Horst
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
ja. „e kommt in der natur vor.“
m.
@ joachim
ich bin weder so allwissend noch so manisch deprisiv, ich denke eins hängt mit dem anderen zusammen
aber ich gebe mein bestes
was ich jedoch noch nicht ganz verstanden habe ist, warum diese funktionen allesamt „natürlich“ heißen.
einfach nur weil in der natur oft die basis e vorkommt? wirklcih so einfach?
ich hab mal gelesen das die funktionen deswegen so heißen weil die ableitung bzw das integral ganz „natürlich“ ohne vorfaktor oder ähnliches vorkommt.
Hallo Horst!
z.B. Kettenlinie:Wenn man eine Kette zwischen zwei Punkten so
aufhängt
daß sie nicht gespannt ist sondern tief durchhängt bildet sie
annähernd
die Form einer Normparabel. Viel genauer entspricht sie aber
der Form
von y=e^x
Und noch viel genauer entspricht sie y=cosh(x) ~ e^x + e^(-x).
Herleiten kann man das auch, Wiki liefert eine Differentialgleichung, die man ziemlich direkt bekommt, wenn man das problem einmal sauber physikalisch-mathematisch formuliert; und die Lösung der DGL ist auch nicht sooo schwierig, ist nur alles viel Rechenaufwand.
Liebe Grüße
Immo
Und noch viel genauer entspricht sie y=cosh(x) ~ e^x + e^(-x).
Liebe Grüße
Immo
Danke Immo,
aber ich komme von einer Lateinschule und da wurden bis zum Abi die Differentialgleichungen ausgespart.Aber jetzt, so als Rentner, werde ich die Sache mal untersuchen. Das ist jedenfalls interessanter als Fernsehen…
Gruß
Horst