2 Fragen zur fristlosen Kündigung

Hallo!
Wie verhält es sich bei folgendem Fall:

Wenn bei einer Zahlungsaufforderung mit fristloser Kündigung gedroht wurde und weiterhin keine Zahlung erfolgt ist, gilt dies bereits schon als eine rechtmäßige Kündigung?

Ein Mietvertrag wurde abgeschlossen mit einer Kündigungsfrist von 2 Monaten. Der Vermieter kündigt dem Mieter rechtmäßig fristlos. Muss der Mieter nach der erlassenen Kündigung noch die 2 Monate Kündigungsfrist Miete zahlen?

Vielen Dank!

Wenn bei einer Zahlungsaufforderung mit fristloser Kündigung
gedroht wurde und weiterhin keine Zahlung erfolgt ist, gilt
dies bereits schon als eine rechtmäßige Kündigung?

Nein, die Kündigung muss erklärt werden; die Androhung selbst ist keine Kündigung.

Ein Mietvertrag wurde abgeschlossen mit einer Kündigungsfrist
von 2 Monaten. Der Vermieter kündigt dem Mieter rechtmäßig
fristlos. Muss der Mieter nach der erlassenen Kündigung noch
die 2 Monate Kündigungsfrist Miete zahlen?

Nein muss er nicht. Er muss aber sofort raus aus der Wohnung.
Außerdem ist an die fristlose Kündigung ein Schadensersatzanspruch geknüpft. Der Mieter muss also dem Vermieter den Schaden bezahlen, der durch die fristlose Kündigung entstanden ist.

Gruß, Trobi