Hallo,
ich hoffe, dass ich hier eine Hilfestellungen für meine Problemstellung bekomme:
Ich habe 3 quadratische Gleichungen mit 3 Variablen (x,y,z). Wie kann ich diese am einfachsten nach den Variablen auflösen?
1.) A*x^2-y+B*x=0
2.) C*z^2-C*x^2-10*C*x-C*25-y-D-F(x+z)-G=0
3.) E*x^2-y+B*x-F(x+z)-G=0
Ich habe schon etliche (einfache) Umformungen probiert und komme dann immer auf Exponenten von 4 etc. und weiß dann nicht weiter…
Wäre echt klasse wenn mir jmd. weiterhelfen könnte!
Gruß Julian
Auch hallo
Ich habe 3 quadratische Gleichungen mit 3 Variablen (x,y,z).
3 ?! Welche konkreten Werte(bereiche) haben A,B, C, D, E, F denn ?
mfg M.L.
Guten Morgen M.L.,
also die Wertebereiche sind:
A: 9,4*10^5…10,7*10^5
B: 0,45…1,1
C: 4,7*10^5…7,1*10^5
D: 69…200
E: 10,6*10^5…12,6*10^5
F: 0,3…1,3
G = 5*F: 1,5…6,5
Kann man denn eine konkrete Lösung nicht allgemein herleiten, sondern nur für einen konkreten Bereich?
Gruß Julian
1.) A*x^2-y+B*x=0
2.) C*z^2-C*x^2-10*C*x-C*25-y-D-F(x+z)-G=0
3.) E*x^2-y+B*x-F(x+z)-G=0
Hallo Julian,
etwas übersichtlicher geschrieben (mit Vorzeichenwechsel in der dritten Gleichung) hast du also
\ \begin{array}{lll}I) & Ax^2+Bx-y & =0\II) & Ex^2+Bx-y-F(x+z)-G & =0\III) & Cx^2+10Cx+y+F(x+z)+G-Cz^2+25C-D & =0\end{array}
Ich habe schon etliche (einfache) Umformungen probiert und
komme dann immer auf Exponenten von 4 etc. und weiß dann nicht
Das gibt dir schon einen Hinweis auf die Anzahl der Lösungen dieses Gleichungssystems. Du kannst z.B. so umformen.
I)\ \Rightarrow\ IV)\ y=Ax^2+Bx
I)-II)\ \Rightarrow\ V)\ (E-A)x^2-F(x+z)+G=0
III)+V)\ \Rightarrow\ VI)\ (C+E-A)x^2+10Cx+y-Cz^2+25C+D=0
Wenn du y mit Hilfe von IV) ersetzt ergibt das
VII)\ (C+E)x^2+(B+10C)x-Cz^2+25C+D=0
Gleichung V) nach z aufgelöst gibt
VIII)\ z=\frac{E-A}{F}x^2-x+\frac{G}{F}
Am besten definierst du jetzt
H:=\frac{E-A}{F}, K:=\frac{G}{F}
Wenn du beide Seiten von VIII) quadrierst erhälst du
IX)\ z^2=H^2x^2-2Hx^3+(2HK+1)x^2-2Kx+K^2
Das kannst du in einsetzten. Nach einem zusätzlichen Vorzeichenwechsel erhälst du dann
X)\ CH^2x^4-2CHx^3+(2CHK-E)x^2-(2CK+B+10C)x+K^2-25C-D=0
Nach Definition von ein paar neuen Koeffizienten kommst du also bei
XI)\ Sx^4+Tx^3+Ux^2+Vx+W=0
an. Wenn du dafür nicht die Formeln von Ferrari bemühen willst, empfehle ich das Newtonverfahren, das ist ruckzuck programmiert und liefert schnell Lösungen. Nullstellenfinder gibt es auch onlnine zu Hauf.
Was du jetzt schon sagen kannst, ist, dass Gleichung XI) maximal vier unterschiedliche Lösungen besitzt, und da sowohl y als auch z allein von x abhängen, hat auch dein ursprüngliches Gleichungssystem maximal vier unterschiedliche Lösungen.
Gruß
hendrik
Hallo Hendrik, vielen Dank soweit schon einmal, hast ja schon mal ganze Arbeit geleistet…
also das Newton-Verfahren ist eine rein numerische Lösung richtig? Das kann ich dann nicht in Excel nutzen oder?
Wie kompliziert ist denn diese Ferrari-Formel?
Hast du einen guten Link dazu?
Grüß
also das Newton-Verfahren ist eine rein numerische Lösung
richtig?
Ja, das Newton-Verfahren liefert nur eine Approximation der Lösung. Die wird aber mit jeder Iteration besser. Mit dem Computer kannst du sowieso keine genaue Lösung errechnen, da sind alle Ergebnisse Approximationen.
Das kann ich dann nicht in Excel nutzen oder?
Wie kompliziert ist denn diese Ferrari-Formel?
Hast du einen guten Link dazu?
Die Formeln von Ferrari sind schon recht aufwendig, andererseits lassen die sich auch recht einfach programmieren, und das braucht man ja nur einmal zu machen, um dann in Zukunft beliebige Gleichungen vierten Grades lösen zu können. Das Verfahren ist hier ganz gut erklärt.
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article…
Gruß
hendrik
Hallo Julian W.,
mich würde interessieren, bei welchem Problem solche Gleichungen auftreten. Könntest Du dazu was schreiben? Danke!
Viele Grüße von
Haubenmeise