Konvex/Konkav

[Bill_f5ad11]

Hi,

vor Jahren im Abitur hat mir mein damaliger Lehrer gelernt, wie man sich den Unterschied von Konvex und Konkav leicht merken kann:
Konvex ist der Buckel von der Hex’

Also war „damals“ eine nach unten geöffnete Parabel ein konvexes Gebilde.

Im Studium, wo wir einen alten angestaubten Professer in numerischer Mathematik hatten, da kam irgendwann auch mal ein Thema darauf zu sprechen. Bei ihm verhielt sich jedoch das Ganze anderherum, also eine nach unten geöffnete Parabel wäre dann konkav.
Da dies mit meinem gelernten Wissen und auch mit dem anderer Studenten nicht vereinbar war, begannen wir ein „sinnloses“ Streitgespräch.

Laut seiner Aussage war dies Grundschul-Mathematik, die sich mit seiner nicht vergleichen ließ und daher falsch. Also:
Seine Definition ist gültig, die für das Abitur gelernte falsch.

Was ist nun richtig?

Ciao, Bill

[Kevin_Johnson]

Hallo Bill,

vor Jahren im Abitur hat mir mein damaliger Lehrer gelernt,
wie man sich den Unterschied von Konvex und Konkav leicht
merken kann:
Konvex ist der Buckel von der Hex’

Oder: „Der Bauch vom Rex ist immer konvex“

Also war „damals“ eine nach unten geöffnete Parabel ein
konvexes Gebilde.

Im Studium, wo wir einen alten angestaubten Professer in
numerischer Mathematik hatten, da kam irgendwann auch mal ein
Thema darauf zu sprechen. Bei ihm verhielt sich jedoch das
Ganze anderherum, also eine nach unten geöffnete Parabel wäre
dann konkav.
Da dies mit meinem gelernten Wissen und auch mit dem anderer
Studenten nicht vereinbar war, begannen wir ein „sinnloses“
Streitgespräch.

Laut seiner Aussage war dies Grundschul-Mathematik, die sich
mit seiner nicht vergleichen ließ und daher falsch. Also:
Seine Definition ist gültig, die für das Abitur gelernte
falsch.

Was ist nun richtig?

Eine stetige Funktion bei der der für jedes Intervall der Wert am Mittelpunkt des Intervalls kleiner oder gleich dem Mittelwert der Werte der Randpunkte des Intervalls ist, heisst konvex.
Im Fall der zweimaligen Differenzierbarkeit der Funktion ist notwendig und hinreichend, dass die zweite Ableitung größer oder gleich Null ist.

Eine nach oben geöffnete Parabel ist konvex.
Eine nach unten geöffnete Parabel ist konkav.
Die Eselsbrücke ist z.B. für Linsen geeignet, für Funktionen stellt sich aber die Frage: Liegt die Hex’ auf dem Bauch oder dem Rücken?
Dein Matheprof hat aber Recht, dein Lehrer leider nicht.

Peace,
Kevin.

[Gandalf]

… ist immer konvex

Hi Bill,

so kenn ich das und so hat mir das bisher jeder beigebracht, Physikprof inclusive.

Gandalf

[Wiz]

Hallo zusammen,

da fällt mir ein viel schönerer Merksatz ein:

„Hat das Mädchen Sex, wird der Bauch konvex;
ist das Mädchen brav, bleibt der Bauch konkav.“

Gruß vom Wiz

[Dilda_8603d5]

zweiseitig gesehen…

Hallo Bill, hallo Kevin, hallo Leute

Sieht das denn keinein auchma von beiden Seiten (nacheinander)?

Eine nach oben geöffnete Parabel ist konvex.

Aber nur „nach oben“ gesehen!!!

Eine nach unten geöffnete Parabel ist konkav.

Aber nur „nach unten“; weil, „nach oben“ ist ja die nach unten geöffnete Parabel konvex

Die Eselsbrücke ist z.B. für Linsen geeignet, für Funktionen
stellt sich aber die Frage: Liegt die Hex’ auf dem Bauch oder
dem Rücken?
Beziehungsweise: Sieht der Mann die Wölbung des schwangeren Bauches der Frau, oder sieht das Embryo sie?

Kompliziert wird die Sache nur bei einer Kontaktlinse, deren Gesamtform ja aus praktischen Gründen immer gleich ist; zum Auge hin gesehen konkav!

Unzweideutig wirds eigentlich nur beim Boxen: Die Faust kann man sich nicht anders als konvex, den Einschlag aber (zunächst, vor der „Beule“) konkav vorstellen!
Nu haut mich, ich beule schon freiwillig ein!
Moin, manni

[Anonym_b7109dc906e7]

Oder die Sache mit dem Löffel
Ist der Löffel konkav bleibt die Suppe brav
ist der Löffel konvex gibt’s nen Klecks

Naja, das beantwortet Deine Frage nicht wirklich, oder? Aber zumindest die Merksprüche, die ich so kenne, laufen alle darauf raus…

Liebe Grüße

Petzi

[Dilda_8603d5]

Langsam geht der Mond auf, Petzi und Bill!
Das iss nämlich der Gipfel:
Ist der Mond konvex oder konkav?
Was die MÖNDCHEN (nicht nur des Hippokrates, der übergens derselbe wie der Arzt ist!), scheint die Sache klarer: an einer Seite konvex, an der annern konkav!
Nur: an welcher Seite was?
Auch die mathematische Definition hilft da überhaupt nicht weiter, denn nach welcher Vorstellung von „konvex/konkav“ ist denn definiert worden? Für das einzufüllende Wasser ist natürlich die nach oben auffe Parabel konkav. Für die belastete x-Achse aber ist die parabel konvex.
Und was ist eine „kugelrunde Welt“? von innen aus gesehen nach außen die Umwelt betrachtet, natürlich konvex und die Umwelt konkav.
Und/aber dann ist diese Umwelt, als eigne Welt gesehen, „um die Kugelwelt herum“ natürlich konkav, denn zwei Komplemente können nur im linearen splitting beide konvex sein, als Grenzfall.
(2te Ableitung = 0, Kevin).
Allerdings, wenn die Kugel schon „die (ganze) Welt“ ist, was ist denn dann die „Umwelt“?
Denn nicht wirklich gibt es ja „allerhand Älle“, neben unserem All, meinich.
Das Paradoxe scheint mir, daß im Kosmos nicht abermilliarden von Konvexitäten herumfliegen, sondern (für und untereinander eben) Konkavitäten. Da aber nicht nur der moderne und aufgeklärt scheinende Mensch sich immer „in die Seite der Unterdrückten und Ausgebeulten“ versetzt und nicht in die der wirklich Eingedrückten und Ausgebeutelten, wollen wir uns doch lieber auf mathamtische Definitionen einigen:
Konvex ist man immer, wemman im Stehen die Hosen voll hat.
Und die umwelt konkav aber perplex.

Moin, Manni.
(der sich ernsthaft seinen Kopf eindrückt und zerbricht)

[Kevin_Johnson]

Hallo Manni, Bill und alle,

Eine nach oben geöffnete Parabel ist konvex.

Aber nur „nach oben“ gesehen!!!

Eine nach unten geöffnete Parabel ist konkav.

Aber nur „nach unten“; weil, „nach oben“ ist ja die nach unten
geöffnete Parabel konvex

Ich glaube, ich muss noch einmal deutlicher werden:
Während in der Physik konvexe Oberflächen „von der anderen Seite aus“ konkav sind, ist die Mathematik mit ihrer (daran vage angelehnten) Definition von konkav/konvex eindeutig (siehe mein Posting).
Die erwähnten Eselsbrücken gehen hier nach hinten los, wenn man (wie das auch immer gehen soll) eine Funktion „von unten/oben betrachtet“. Merke: Eine Funktion ist nicht ihr Graph!

Peace,
Kevin.

P.S.: Sollte ich hier oberlehrerhaft klingen, so geschieht dies im Sinne der Klarheit.

[Dilda_8603d5]

Von einem (schwarzen) Loch umzingelt…
Hallo, dier Kevin,

Ich glaube, ich muss noch einmal deutlicher werden:

Während in der Physik konvexe Oberflächen „von der anderen
Seite aus“ konkav sind, ist die Mathematik mit ihrer (daran
vage angelehnten) Definition von konkav/konvex eindeutig
(siehe mein Posting).:

Klar, bestreite ich (als selber Mathemann) ja auch nicht.
Denn die Matheamtik legt sich ja durch die „voreingestellt(e) positive Grundrichtung“ fest. Die Physik aber nicht. Und wir sind hier in „Mathematik&amp:stuck_out_tongue_winking_eye:hysik“.

Smeilste wengstens auch gleich ein bischen, wenn wir uns alle nen Besoffenen vorstellen, der sich um eine Litfaßsäule herumtastet, laut jammernd: „Ich will hier endlich raus!!!“
Genauso ist es mathematisch eine (sogar kompakt-)topologische Frage der Definition, ob ein kugelrundes Loch von der Umwelt, oder das gesamte All von dem einen Loch umzingelt wird.

Nochen piece, moin, manni