i hoch i
Von: , Frage gestellt am Do, 10. Jul 2003
Hallo,
eine Frage aus reiner Neugier:
Was ist das Ergebnis von i hoch i?
Roman Sztyler
16 Antworten zu dieser Frage
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Antwort von nach 14 Minuten 0 hilfreich
Re: i hoch i
Hallo Roman,
eine interessante Frage. :-)
i^i = exp[i Log i] = exp[i(i*pi/2)] = exp[-pi/2].
Viele Grüße,
Martin [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
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Antwort von nach 26 Minuten 0 hilfreich
Ergänzung: Log z
Eine kleine Ergänzung vielleicht:
Für komplexe z ist
Log z = log |z| + i * arg(z),
wobei -pi < arg(z) <= pi den Winkel von z in der komplexen Ebene darstellt.
Gruß,
Martin
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Antwort von nach 33 Minuten 0 hilfreich
Re: Ergänzung: Log z
Log z = log |z| + i * arg(z) + i * 2npi, n aus Z
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Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich
Re^2: Ergänzung: Log z
Log z = log |z| + i * arg(z) + i * 2npi, n
aus Z
Ähnlich wie man bei sqrt(4) nicht definiert, dass der Wert +2 und -2 sein soll, legt man sich auch hier fest: Log z bezeichnet den Hauptwert des komplexen Logarithmus (n=0), ist also wie die Wurzel eindeutig (s. auch Beitrag weiter oben).
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Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich
Re^3: Ergänzung: Log z
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es im Komplexen verschiedene Zweige des Logarithmus gibt und damit auch verschiedene Potenzen. Sich ausgerechnet auf den Hauptzweig festzulegen ist willkürlich und auch nicht sinnvoll, da man so z.B. die Lösungsmenge einer Gleichung einschneidet! Man sollte also schön allgemein bleiben - wie üblich in der Mathematik.
Gruß
Oliver [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
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Antwort von nach 21 Stunden 0 hilfreich
Re^4: Ergänzung: Log z
Hallo Oliver, Sich ausgerechnet auf den Hauptzweig
festzulegen ist willkürlich und auch nicht sinnvoll, da man so
z.B. die Lösungsmenge einer Gleichung einschneidet! Man sollte
also schön allgemein bleiben - wie üblich in der Mathematik.
wie schon oben erwähnt, ist der Einwand prinzipiell durchaus richtig: Gleichungen können mehrelementige Lösungsmengen haben. Nur - und das habe ich mir wirklich nicht selbst ausgedacht - ist eine Zahl genau das: ein Element aus einer Menge. Die nachgefragte Zahl i^i ist zwar, worauf Du auch richtigerweise hinweist, gleichzeitig eine Lösung einer gewissen Gleichung, die auch noch andere Lösungen hat. Aber es handelt sich dabei eben nur um einen Wert. Genauso ordnet Log einem z genau einen Wert zu. Die zugehörige Gleichung mag da (ähnlich wie x^2 = 4 im Reellen) mehrere Lösungen haben - das ändert allerdings überhaupt nichts daran, dass die verwendeten und in der Mathematik klar definierten Begriffe (komplexe Zahl, Funktion wie z.B. die Wurzel) Eindeutigkeit verlangen. Ich fürchte, da beißt die Maus keinen Faden ab.
Auch wenn es willkürlich erscheint (man könnte die Wurzel ja auch als eine Funktion mit negativen Werten definieren), ist es trotzdem durchaus sinnvoll so vorzugehen und sich festzulegen. Ich würde es eher als einen Gewinn, denn als einen Verlust verstehen.
Grüße,
Martin
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Antwort von nach 21 Stunden 0 hilfreich
Re^5: Ergänzung: Log z
Hallo Mars,
bei beliebigen n ist die komplexe Zahl i^i genau so eindeutig, denn n ist zwar beliebig, aber fest! Also nach Festlegung eine Konstante sozusagen. Deine Festlegung auf den Hauptzweig ist deine persönliche Sache, aber keinesfalls so "definiert" - im Unterschied zur Wurzel im Reellen.
Gruß
Oliver
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Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich
Re^6: Ergänzung: Log z
Schau Oliver,
ich weiß nicht, wie ich Dich überzeugen kann, aber wir sollten nicht etwas derart Unklares stehen lassen. bei beliebigen n ist die komplexe Zahl i^i
genau so eindeutig, denn n ist zwar beliebig,
aber fest!
Wir scheinen ein unterschiedliches Verständnis vom Gleichheitszeichen zu haben oder nicht die gleiche Logik. Beliebig, aber fest - bis morgen jemand anders fragt? Oder für immer? Wozu dann das n? Ich fürchte das ergibt so keinen Sinn. Die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens i^i=exp[-pi(2n+1/2)]
stehen doch für bestimmte wohldefinierte Objekte. Da i^i keine Variable enthält, darf die rechte Seite das auch nicht - es sei denn, man kann sie durch einen bestimmten Wert ersetzen (hier n=0).
Oder soll nun in Deiner Schreibweise i^i = exp(-pi/2) oder i^i = exp(-5 pi/2) ... alles möglich sein? Jeder darf sich eines nach belieben aussuchen und darf "später" nicht mehr davon abweichen? Hans hat also ein anderes i^i als Peter?
Nein, der Ausdruck z^w soll doch für eine Funktion (in den Variablen z und w) stehen und einen festen, für alle Menschen gleichen Wert im Komplexen haben und keine Beliebigkeit beinhalten.
Vielleicht nochmal die kleine Analogie:
Die Funktion sqrt(x) ist im Reellen die Umkehrfunktion zum positiven Zweig von x^2. Diese ist auf ganz R nicht injektiv und besitzt dort daher keine Umkehrfunktion. Also schränkt man sie auf die positive Halbachse (willkürlich!) ein und erhält dort eine schöne Umkehrfunktion. Man schreibt deshalb nicht (nicht "schön allgemein bleiben")
sqrt(4) = ±2 oder etwa = {2, -2},
sondern
x^2 = 4 => x = sqrt(4) oder x = -sqrt(4) => Es gibt ein n in {-1,1}: x= n sqrt(4).
Heißt: Wenn ich von dem x weiß, dass es die linke Gleichung erfüllt, dann handelt es sich um einen der beiden Werte rechts. Das machst Du doch mit dem sqrt-Zeichen genau so, oder?
Analog hierzu ist die Exponentialfunktion im Komplexen (anders als im Reellen) nicht injektiv, denn es gilt z.B.
exp(0) = 1 = exp(2 pi * i) = exp(4 pi * i) = usw.
Also schränkt man sich für die Umkehrfunktion aus diesem Grund auch hier ein, genauer: auf Winkel zwischen -pi und pi (dort ist die komplexe exp-Funktion injektiv) und schreibt z.B.
exp(z) = i => Es gibt ein n in Z: z = Log i + 2n pi * i.
Dabei ist Log i = log |i| + i pi/2 = i pi/2 wie "sqrt(4)" eindeutig. Über die Lösung z, ähnlich wie oben über das x, ist eine bessere Aussage als die, dass es die besagte Form hat, nicht möglich.
Genau das meinst Du womöglich, die Begriffe gehen aber etwas durcheinander. Nur weil das eine im Reellen stattfindet, das andere im Komplexen, heißt nicht, dass die Regeln sich verändern. Auch wenn man sich an das eine bereits gewöhnt hat, an das andere aber vielleicht noch nicht.
***
Okay, ich habe jetzt auch mal in zwei Büchern nachgeschaut, ob es einer der Autoren anders - so wie Du es vorschlägst - macht und den Logarithmus "irgendwie" mehrdeutig definiert. Weder Apostol ("Mathematical Analysis"), noch Remmert ("Funktionentheorie I") gehen diesen Weg (finde ich letztlich nicht überraschend). Apostol benutzt tatsächlich genauso "Log" für den (natürlich eindeutigen!) Hauptwert, während Remmert für die anderen Logarithmen ein einfaches "l" verwendet und für den Hauptwert sogar direkt in Anlehnung an die reelle Analysis "log".
Ich zitiere mal. Wenn nicht schon ich, vielleicht überzeugt Dich er:
"Wir bezeichnen mit log stets [Hervorhebung dort, Mars] den Hauptzweig des Logarithmus. In unserer Definition wird die Ebene C längs der negativen reellen Achse geschlitzt. Darin liegt natürlich eine Willkür."
Und fährt fort mit der Erläuterung, dass die anderen (eingeschränkten!) Zweige genauso (eindeutige) Logarithmen sind (sie erfüllen ja die Bedingung exp[l(z)] = z). Ein paar Seiten später heißt es:
"In der geschlitzten Ebene C^- wird durch exp(a log z) eine Potenzfunktion mit dem Exponenten a erklärt. Wir reservieren die (gelegentlich gefährliche) [sic!] Schreibweise z^a vornehmlich für diese Potenzfunktion [definiert durch den Hauptwert], für jede Zahl a in Z handelt es sich nach dem Vorangehenden in der Tat um die übliche Potenzfunktion. Es gilt z.B.
1^a = 1, i^i = exp(-pi/2) = 0,2078795763..."
Aus einem Brief von Euler an Goldbach (1746):
"Letztens habe gefunden, daß diese expressio sqrt(-1)^sqrt(-1) einen valorem realem habe, welcher in fractionibus decimalibus = 0,2078795763, welches mir merkwürdig zu seyn scheinet."
Grüße,
Martin
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Antwort von nach 2 Tagen 0 hilfreich
bevor ich groß rumlabere...
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