literatur Summe Beweis Reihe Hilfen

harmonische zahl- beweis

Von: , Frage gestellt am Mi, 24. Nov 2004

Hi!

Brächte Hilfe beim Beweis einer Reihe..

ALso sei jetzt H_k=1+1/2+...+1/k die k-te harmonische Zahl(für k=1,2....).

Gezeigt werden soll:

Summe k=1 bis n H_k=(n+1)H_(n+1) -(n+1)

In entsprechender Literatur hab ich nicht unbedingt Hilfen gefunden.
Danke, Gruß

6 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

   Re: harmonische zahl- beweis

   Hi, Gezeigt werden soll:
   
   Summe k=1 bis n H_k=(n+1)H_(n+1) -(n+1)
   Dem geht so:
   
   

   n       n   k       n
   ∑ H_k = ∑   ∑ 1/i = ∑ (n+1-i)/i = (n+1)H_n - n =(n+1)H_(n+1) - (n+1)
   k=1     k=1 i=1     i=1
   

   
   Wobei der letzte Schritt in meinen Augen wirklich unnötig ist, aber wenn es unbedingt die gewünschte Form haben soll... meinetwegen.
   Ich hoffe die Schritte sind alle klar, wenn nicht, einfach noch mal melden!
   
   Gruß
   Oliver
   

   • Antwort von nach 13 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: harmonische zahl- beweis

     hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?
     
     lg
     

     • Antwort von nach 16 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: harmonische zahl- beweis

       Hallo hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?
       
       Ich weiss nicht, wie es Oliver gemacht hat, aber ich kann es ohne vollständige Induktion:
       
       2. =: Da wird die Summationsreihenfolge vertauscht. Man muss dabei etwas auf die neuen Summationsgrenzen achten. Auf jeden Fall ergibt das dann sum_{i=1}^{n}sum_{k=i}^{n} 1/i. Da der Summand nicht vom Index der inneren Summe abhängt, musst Du einfach die Summanden zählen und erhältst die dritte Summe von Oliver.
       3. =: Den Summanden aufteilen in (n+1)/i und -i/i und drauflosrechnen.
       4. =: Das kriegst Du schon hin.
       
       Gruss Urs
       

     • Antwort von nach 19 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: harmonische zahl- beweis

       hast du das jetzt mit volls. indukt. bewiesen?
       Nein, einfach nachgerechnet, aber mit volls. indukt. geht es sogar noch einfacher:
       
       
       Ind.anfang: n=1 : stimmt offensichtlich
       
       Ind.schluss n->n+1 :
       

       n+1      n             Ind.Vor.
       ∑ H_k = ∑ H_k + H_(n+1) = (n+1)H_(n+1) - (n+1) + H_(n+1)
       k=1     k=1              = (n+2)H_(n+1) - (n+1)
       = (n+2)H_(n+2) - (n+2)
       

       
       stimmt also auch.
       
       Damit ist die Formel für alle n>1 bewiesen.
       
       Gruß
       Oliver
       

       • Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

         Re^4: harmonische zahl- beweis

         hmm oki,..aber wie kommst du vom ersten auf den zweiten schritt im folgenden:
         
         (n+2)H_(n+1) - (n+1)
         = (n+2)H_(n+2) - (n+2)
         
         vielleicht bin ich blöd, aber ich seh das nicht auf dem ersten schritt.
         

         • Antwort von nach einem Tag 0 hilfreich

           Re^5: harmonische zahl- beweis

           hmm oki,..aber wie kommst du vom ersten auf den zweiten
           schritt im folgenden:
           
           (n+2)H_(n+1) - (n+1)
           = (n+2)H_(n+2) - (n+2)
           Du addierst einfach
           0 = 1 - 1 = (n+2)/(n+2) - 1
           
           Und dann (n+2) ausklammern und
           H_(n+1) + 1/(n+2) = H_(n+2)
           benutzen.
           
           Gruß
           Oliver
           

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