Hallo Mathematiker/Physiker,
Ich suche eine einfache Erklärung der Begriffe Eigenwert und Eigenvektor fuer Nichtmathematiker (Biologen), und Beispiele fuer praktische Anwendungen (Differentialgleichungen, Randwerte) . Also nicht die Definition aus dem Bronstein...
Gruss
Toni
Hi,
also ohne den Begriff eines Vektorraumes kommst Du da nicht weit. Aber es reicht aus, sich diesen als Raum der Spaltenvektoren vorzustellen. Jetzt hast Du eine Quadratische Matrix, also eine lineare Vorschrift, aus einem Vektor einen neuen zu bauen. Im allgemeinen hat der neue recht wenig mit dem alten gemeinsam. Wenn man sich dann fragt, ob beide nicht zuf"allig mal in die gleiche Richtung weisen k"onnten, dann ist die Antwort vielleicht, wenn man reelle Vielfache und sicher, wenn man komplexe Vielfache zul"asst. Die Vielfachheit heisst dann Eigenwert, der Vektor Eigenvektor. Eigen deshalb, weil dies charakteristische Gr"ossen der Matrix sind, zumindest der Eigenwert bleibt bei Basiswechsel erhalten, der Vektor..., aber das sind schon die Niederungen der abstrakten Vektorr"aume.
Tja, und f"ur Differentialoperatoren funktioniert es eigentlich genauso, nur dass man jetzt noch etwas mehr Theorie der normierten Vektorr"aume machen muss, damit man in den unendlich vielen Dimensionen nicht die Orientierung verliert.
Eine Funktion f entspricht einem Vektor, und die Funktionswerte im wesentlichen den Koordinaten, d.h. f(x) ist die Koordinate zum Index x.
Nun sind die Funktionen stetig (differenzierbar,...), so dass nicht alles so konstruierte im Vektorraum auftaucht, und das macht die erw"ahnte Schwierigkeit aus.
Wenn Du aber alles diskretisierst, dann bist Du wieder im endlichdimensionalen, und unter intuitiven Voraussetzungen an die Diskretisierung auch meist nahe genug am (idealen) Problem, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten, d.h. Eigenwerte und Eigenfunktionen sind gute Approximationen an das kontinuierliche Problem.
Ciao Lutz
Hat jetzt nicht viel damit zu tun, ich dachte nur immer ein Eigenwert hat irgendwas damit zu tun, weil eine Matrix einen eigenen Wert hat oder so was.
Jetzt las ich aber mal was von Eigenvalues, ist da wohl doch eher eiN Mathematiker namens Eigen am Werk gewesen?
Bruno
Hat jetzt nicht viel damit zu tun, ich dachte nur immer ein
Eigenwert hat irgendwas damit zu tun, weil eine Matrix einen
eigenen Wert hat oder so was.
Jetzt las ich aber mal was von Eigenvalues, ist da wohl doch
eher eiN Mathematiker namens Eigen am Werk gewesen?
nein, eher die tatsache, dass die mathematische literatur der damaligen zeit zum groessten teil auf deutsch war, das haben die genauso uebernommen wie den kindergarten und den rucksack...
joachim, der gluecklicherweise nicht mehr so viel mit der diagonalform zu tun hat...
Hat jetzt nicht viel damit zu tun, ich dachte nur immer ein
Eigenwert hat irgendwas damit zu tun, weil eine Matrix einen
eigenen Wert hat oder so was.
In irgend einer Weise sind solche Werte der einer Matrix schon
"eigen". Kennt man alle Eigenwerte einer diagonalen Matrix, dann
ist sie eindeutig bestimmt. Aus der eindeutig bestimmten Form
lassen sich alle anderen, die ihr "entsprechen" ableiten.
Eigenwerte und Eigenvektoren (die zugegeben einige Grundlagen der
linearen Algebra benoetigen) bilden die Basis fuer viele Gebiete
der Mathematik und Physik (z.B. Quantentheorie).
MEB
Hi Lutz,
danke, damit kann ich was anfangen
Toni