fläche Punkte Punkt graph Symmetrie Wendepunkt

Ich suche noch die 'elegante' Lösung

Von: , Frage gestellt am So, 27. Feb 2005

Sers

Weiter unten habe ich schon nach der Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt gefragt, doch auch diese hilft mir nur bedingt weiter.

Folgende Aufgabe:

f(x) = -(x^3)/18+0,5x^2

Die Gerade y=x schneidet diesen Graphen, man soll zeigen, dass die eingeschlossenen Flächen den selben Flächeninhalt haben.

Bei diesem Graph ist der Punkt P(3|3) der Wendepunkt, die Punkte (0|0) und (6|6) jeweils die Extrempunkte (ersterer ist der Tiefpunkt).

Folglich verläuft die Gerade genau durch Tiefpunkt, Wendepunkt, Hochpunkt.

Mein Versuch, dass ganze über die Symmetrie zum Wendepunkt nachzuweisen erweist sich als recht kompliziert. Zwar kann ich das ganze lcker über Integrale berechnen, jedoch stammt diese Aufgabe aus einem Elftklassbuch, so dass es anders gehen muss.

Kennt jemand noch einen Weg, wie man das zeigen kann?

4 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

   Re: Ich suche noch die 'elegante' Lösung

   Folgende Aufgabe:
   
   f(x) = -(x^3)/18+0,5x^2
   
   Die Gerade y=x schneidet diesen Graphen, man soll zeigen, dass
   die eingeschlossenen Flächen den selben Flächeninhalt haben.
   
   Bei diesem Graph ist der Punkt P(3|3) der Wendepunkt, die
   Punkte (0|0) und (6|6) jeweils die Extrempunkte (ersterer ist
   der Tiefpunkt).
   
   Folglich verläuft die Gerade genau durch Tiefpunkt,
   Wendepunkt, Hochpunkt.
   Ich habe einen Vorschlag:
   
   h(x)=f(x)-x
   
   zu zeigen: |h(3-t)|=|h(3+t)| für 0<=t<=3
   
   hendrik
   

   • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

     Re^2: Ich suche noch die 'elegante' Lösung

     Ich habe einen Vorschlag:
     
     h(x)=f(x)-x
     
     zu zeigen: |h(3-t)|=|h(3+t)| für 0<=t<=3
     
     hendrik
     h(3-t)=h(3+t)=-t^3/18+0.5*t für alle t
     

     • Antwort von nach 2 Stunden 0 hilfreich

       Re^3: Ich suche noch die 'elegante' Lösung

       h(3-t)=h(3+t)=-t^3/18+0.5*t für alle t
       Eigentlich meinte ich
       
       h(3-t)=t^3/18-0.5*t
       h(3+t)=-t^3/18+0.5*t
       
       => h(3-t)=-h(3+t)
       => |h(3-t)|=|h(3+t)| für alle t
       
       hendrik
       

2. Antwort von nach 10 Stunden 0 hilfreich

   Re: Ich suche noch die 'elegante' Lösung

   hi,
   Weiter unten habe ich schon nach der Punktsymmetrie zu einem
   beliebigen Punkt gefragt, doch auch diese hilft mir nur
   bedingt weiter.
   
   Folgende Aufgabe:
   
   f(x) = -(x^3)/18+0,5x^2
   
   Die Gerade y=x schneidet diesen Graphen, man soll zeigen, dass
   die eingeschlossenen Flächen den selben Flächeninhalt haben.
   
   Bei diesem Graph ist der Punkt P(3|3) der Wendepunkt, die
   Punkte (0|0) und (6|6) jeweils die Extrempunkte (ersterer ist
   der Tiefpunkt).
   
   Folglich verläuft die Gerade genau durch Tiefpunkt,
   Wendepunkt, Hochpunkt.
   
   Mein Versuch, dass ganze über die Symmetrie zum Wendepunkt
   nachzuweisen erweist sich als recht kompliziert. Zwar kann ich
   das ganze lcker über Integrale berechnen, jedoch stammt diese
   Aufgabe aus einem Elftklassbuch, so dass es anders gehen muss.
   ich denk, die punktsymmetrie ist für die 11. klasse schon die richtige idee.
   
   f(x) = -(x^3)/18+0,5x^2
   
   zu zeigen:
   f(6-x) + f(x) = 6 bei punktsymmetrie am punkt (3; 3)
   
   f(6-x) + f(x) = -(6-x)^3/18 + 0,5(6-x)^2 + -(x^3)/18+0,5x^2 =
   = -(216 - 108x + 18x^2 - x^3)/18 + 18 - 6x + x^2/2 - x^3/18 + x^2/2 =
   = -12 + 6x - x^2 + x^3/18 + 18 - 6x + x^2 - x^3/18 = 6
   
   "q.e.d." sozusagen
   
   lg
   m.
   

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