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Re: HIILFE schnell! Kosinussatz und kompl. Standar
Hallo Hansi!
Zunächst zu Deiner Kosinussatz-Frage.
Die von Dir zitierten Gleichungen
a^2²= b^2²+ c^2 - 2 b c cos(alpha) (1)
a^2²= b^2²+ c^2 + 2 b c cos(alpha) (2)
gibt es beide. In einem bestimmten Kontext (ich erzähle Dir gleich,
in welchem) wechselt das "Minus" in (1) tatsächlich zu "Plus".
Höchstwahrscheinlich ist es bei Dir also *kein* Druckfehler.
Der richtige und wahre und einzige Kosinussatz ist (1).
Er stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für
nicht-rechtwinklige Dreiecke dar.
Meistens wird er in der Form
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos(gamma)
angegeben und gamma bezeichnet darin den Winkel in derjenigen Ecke
des Dreiecks, die der Seite "c" gegenüberliegt. Für gamma = 90 Grad
erhälst Du daraus wegen cos(90 Grad) = 0 den ollen Pythagoras
c^2 = a^2 + b^2 als Spezialfall.
Genauso richtig wie (1) sind aber auch die beiden anderen Kosinus-
satz-Formen
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos(alpha)
b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c cos(beta)
wenn alpha bzw. beta den Winkel in der Ecke gegenüber der Dreieckseite
"a" bzw. "b" bezeichnet (vgl. Bildchen in Formelsammlung).
Nun zur Mutation des Plus- in ein Minuszeichen. Sie tritt dann auf,
wenn Du zwei *Vektoren addierst*, und Dich fragst, welchen Betrag der
resultierende Vektor hat. Zeichne mal am besten so ein Vektorparal-
lelogramm auf, mit den Vektoren vec[b] und vec[c], die den Winkel phi
einschließen. Der Summenvektor vec[a] := vec[b] + vec[c] zeigt dann
von der phi-Ecke aus auf die gegenüberliegenden Ecke und teilt das
Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke.
Frage: Wie groß ist der Betrag a ("Länge") von vec[a]?
Die Antwort, die Du leicht mit dem Kosinussatz findest, lautet:
a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos((360 Grad - 2 * phi)/2)
Wegen cos(180 Grad - phi) = -cos(phi) folgt:
a^2 = b^2 + c^2 + 2 b c cos(phi) (3)
Und da steht es, das Plus! Die Erklärung für das Kosinus-Argument
"(360 Grad - 2 * phi)/2" ist einfach: Zwei der Winkel im Parallelo-
gramm sind gleich phi, und die Winkelsumme eines Vierecks ist immer
360 Grad. Deshalb sind die beiden Winkel in den Pfeilspitzen von
vec[b] und vec[c] gerade gleich (360 Grad - 2 * phi)/2 groß.
Du kannst Dich leicht davon Überzeugen, daß (3) für den Fall paral-
leler Vektoren (phi = 0) wie erwartet übergeht in a = b + c, und für
antiparallele (phi = 180 Grad) in a = abs(b-c).
Daß (3) nicht nur für die Addition "echter" Vektoren, wie z. B.
Kräften oder Geschwindigkeiten, sondern auch für die Addition kom-
plexer Amplituden (Ströme, Spannungen, Widerstände...) gut ist,
ist klar.
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Und jetzt zu
u = u1*cos(wt+phi1) + u2*sin(wt+phi2) (4)
Sorry, wenn ich das jetzt so unverblümt sage, aber phi1 und phi2
haben in dieser Gleichung nix verloren. Das haben sie nur, wenn
beidemal "sin" oder beidemal "cos" da steht.
Ansonsten gibt nur noch einen Ausdruck, wo "cos" UND "sin" drinsteht,
aber dann ohne phi1 und phi2. Den schreibe ich mal in folgender
Form mit a und b und "Minus" hin:
a * cos(wt) - b * sin(wt) (5)
Dieser Ausdruck ist identisch mit dem Ausdruck
A * cos(wt+phi0) (6)
mit A = sqrt(a^2 + b^2)
und tan(phi0) = b/a
A heißt "Amplitude" und phi0 "Nullphasenwinkel" (und "Phase" nennen
sich die Argumente des Sinus und Cosinus).
Die Gleichheit von (5) und (6) läßt sich folgendermaßen beweisen.
a * cos(wt) - b * sin(wt)
= sqrt(a^2 + b^2) * (a/sqrt(...) * cos(wt) - b/sqrt(...) * sin(wt))
a/sqrt(...) = 1/sqrt(1+(b/a)^2) = cos(arctan(b/a)) = cos(phi0)
b/sqrt(...) = (b/a)/sqrt(1+(b/a)^2) = sin(arctan(b/a)) = sin(phi0)
sqrt(a^2 + b^2) = A
= A * (cos(phi0) * cos(wt) - sin(phi0) * sin(wt))
(Additionstheorem "cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y")
= A * cos(wt+phi0)
Zur komlexen Form kommst Du schließlich so:
= Re (A * cos(wt+phi0) + j * A * cos(wt+phi0))
= Re (A * exp(j*(wt+phi0)))
= Re (A * exp(j*phi0) * exp (jwt))
= Re ({A} * exp (jwt))
Wobei {A} = A exp (j phi0) als "komplexe Amplitude" bezeichnet wird.
"Re" bedeutet natürlich "Realteil von".
Es gelten die Zusammenhänge
{A} = a + jb
A = abs({A}) = sqrt(a^2 + b^2)
a = A cos(phi0) = Re {A}
b = A sin(phi0) = Im {A}
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Wenn Du in (4) noch die Phasenverschienungen phi1 und phi2 drin
stehen hast, machst Du aus "meinen" schön senkrecht aufeinander-
stehenden sin- und cos-Zeigern solche, die nicht mehr zueinander
orthogonal sind.
Speziell beim Ausdruck (Achtung: Jetzt beidemal "sin"!)
u1*sin(wt+phi1) + u2*sin(wt+phi2) (7)
hast Du zwei Zeiger, die den Winkel phi2-phi1 einschließen.
Dieser Ausdruck ist identisch mit dem Ausdruck
U sin(wt + phi) (8)
und die Berechnung von U läuft über nichts anderes als (3) ab.
Das Ergebnis lautet erwartungsgemäß:
U = sqrt(u1^2 + u2^2 + 2 u1 u2 cos(phi2-phi1))
Das gilt auch dann, wenn in (7) beidesmal "cos" statt "sin" steht.
Der Phasenverschiebungswinkel phi in (8) ergibt sich zu
tan(phi) = (a sin(phi1) + b sin(phi2)) / (a cos(phi1) + b cos(phi2))
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Uff, ich denke, jetzt ist aber wirklich genug zusammengekommen. ;-)
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen und wünsche Dir viel Glück bei Deiner Prüfung.
Tschau
Martin
