Existenz der Quadratwurzel-Beweis mit Schranken
Von: , Frage gestellt am Sa, 25. Nov 2006
Einen wunderschönen Tag wünsche ich.
Ich habe hier eine Übungsaufgabe, in der man die Existenz von Wurzeln leider nicht durch die vollständige Induktion beweisen soll, sondern mit Hilfe von Schranken nach einem gewissen Schema.
Laut Aufgabe soll gezeigt werden, dass es zu jeder reellen Zahl b >= (größer gleich) 0 genau eine reelle Zahl w >= 0 mit w^2=b existiert. Als Bezeichnung ist hier genannt Sqrt(b):=w.
Für b > 0 soll man es so nachweisen:
M:= {a € IR : a >= 0 und a^2<b}
Zu Zeigen (erst einmal aus Auflistung) :
a) c>= 0 und c^2 >= b => c ist eine obere Schranke von M.
b) M ist nach oben beschränkt, Setze w:= sup M
c) a>= 0 und a^2<b => a ist keine obere Schranke von M
d) c>= 0 und c^2 > b => c ist nicht die kleinste obere Schranke von M. Benutzen Sie hierfür a.
Wegen c und d bleibt nur w^2=b
a) c>= 0 und c^2 >= b => c ist eine obere Schranke von M.
Also erst einmal merke ich an, dass M:= {a € IR : a >= 0 und a^2<b} ungleich der leeren Menge sei, aber die Null enthalten darf, und M ist nach oben beschränkt. (So wäre es ja für eine allgemeine Herleitung der Wurzel, kann ich mir das bei dem Quadrat als konkreten Exponenten sparen?)
Nun gilt ja nach der Pascalschen Ungleichung, dass a^2<b<1+2b<(1+b)^2, wobei a<1+b. Das bedeutet doch schon, dass es ein c gibt, dass als sup M definiert ist. Also c:=sup M.
Da fiel mir gerade auf, dass das ja eigentlich der Aufgabenstellung widerspricht. Das ist aber etwas verzwicktes.
Soll ich stattdessen sagen: „Sei c >=0“ und c^2 >= b mit M=[a;w]“ (Für das Intervall siehe b)
(da c^2 größer b ist, ist es allzulogisch, dass c oberhalb des Intervalls liegt und somit eine obere Schranke von M ist). Also ist c eine obere Schranke von M. Wenn ich diese paar Zeilen so schreibe, glaube ich aber nicht, dass das gemeint war.
b) M ist nach oben beschränkt, Setze w:= sup M.
?????
Soll ich einfach sagen, M:= [a,w], somit w=sup (M) = max (M).
c) a>= 0 und a^2<b => a ist keine obere Schranke von M
Den Beweis kann ich gar nicht... Ich meine, a ist nach meinem Intervall M=[a;w^2] bereits das Infimum M. und da
1)w^2 = b
2) a^2 < b
Folgt daraus ja schon, dass dass a unten in dem Intervall liegt und somit keine obere Schranke ist, sondern eine untere Schranke. Evtl. kann man das förmlich zeigen durch a^2=a*a<b |:a
a< b/a
witzigerweise gilt das aber nur für a<0. Denn wenn b=5 und a =3 hätten wir ja 3<5/3; stimmt ja leider nicht. Hier müssen meine Überlegungen leider falsch sein.
d) c>= 0 und c^2 > b => c ist nicht die kleinste obere Schranke von M. Benutzen Sie hierfür a.
Hier habe ich auch ein riesen Fragezeichen im Gesicht. Immerhin ist b doch mein Supremum, also kann c^2 >b nicht mein Supremum sein, weil es auch nicht in meinem Intervall liegt.
Wegen c und d bleibt nur w^2=b
Ich danke euch schon jetzt für eure Beteiligung!
Viele Grüße von
McMike.