wert konstante Kreis Gleichung GLeichungssystem Tangente Berührungspunkte

Kreis und Geraden (klasse 11)

Von: , Frage gestellt am Mo, 23. Okt 2000

huhu ich hab mal 2 aufgaben die ich einfach nicht lösen kann... :-( ich bin wahrscheinlich zu dumm...könntet ihr mir helfen??

I.
wie lautet die gleichung derjenigen tangenten an den kreis k: x²+y² = 20, die parallel zur gleichung g: y=x/2 - 3 sind?

da könnte man also gleichungssystem machen und dann durch einsetzen y = x/2 - n rausbekommen aber nun komme ich auch nicht weiter....könnte mir wer die zwei tagentten gleichungen sagen mit weg? damit ich des verstehe?

II.

vom punkt Po(-1|7) seien an den kreis k: x²+ y² = 25 zwei tangenten t1 und t2 gelegt. gib deren gleichung an.

da wäre vielleicht was mit cosinus oder sinus zu machen....weiß wer vielleicht wie ungefair???

*netweiterweiß*

bitte helft mir....


bye danke im voraus...

5 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 14 Stunden hilfreich

   Re: Kreis und Geraden (klasse 11)

   I.
   wie lautet die gleichung derjenigen tangenten an den kreis k
   x²+y² = 20, die parallel zur gleichung g: y=x/2 - 3 sind?
   Da gibt es mehrere Lösungsansätze. Einer besteht darin, die Geradengleichung der Tangenten in die Kreisgleichung einzusetzen. Da der Ansteig der Tangenten vorgegeben ist, können wir nur das konstante Glied variieren und erhalten die Geradengleichungen
   
   y=x/2+k
   
   In die Kreisgleichung eingesetzt ergibt das
   
   x²+(x/2+k)²=20
   
   indem wir diese Gleichung nach x auflösen erhalten wir die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis:
   
   x_1,2=-2/5*a±sqrt(20-20/25*a²)
   
   Da eine Tangente den Kreis nur in einem Punkt berührt, muß x₁=x₂ gelten, was nur dann der Fall ist, wenn der Ausdruck unter der Wurzel Null wird. Damit erhalten wir für die Konstante k_1,2=±5 und die Geradengleichungen lauten
   
   y₁=x/2+5 und y₂=x/2-5 II.
   
   vom punkt Po(-1|7) seien an den kreis k: x²+ y² = 25 zwei
   tangenten t1 und t2 gelegt. gib deren gleichung an.
   Hier kann man prinzipiell genauso vorgehen. Zunächst stellen wir die Gleichung für alle Geraden auf, die durch den Punkt (-1,7) laufen:
   
   y=m(x+1)+7
   
   setzen diese in die Kreisgleichung ein:
   
   x²+(mx+m+7)²=25
   
   und nach x und m auflösen darfst Du es allen.
   

   • Antwort von nach 15 Stunden hilfreich

     Re^2: Kreis und Geraden (klasse 11)

     II.
     
     vom punkt Po(-1|7) seien an den kreis k: x²+ y² = 25 zwei
     tangenten t1 und t2 gelegt. gib deren gleichung an.
     Hier noch eine elegantere Lösung:
     
     Der Punkt P_o=(-1,7), der Koordinatenursprung und der Berührungspunkt der tangenten mit dem Kreis bilden die Eckpunkte ein Rechtwinkliges Dreiecks (weil der Radius senkrecht auf der Tangente steht). Daher kann die Entfernung von P_o bis zu den Berührungspunkten der Tangenten mit dem Kreis nach Pyathagoras berechnet werden:
     
     d=sqrt(7²+1²-25)=5
     
     Zeichnen wir nun einen Kreis mit dem Radius 5 um P_o, so schneidet dieser den Kreis um den Koordinatenursprung exakt an den Berührungspunkten der Tangenten. Da die Radien der beiden Kreise identisch sind (was sicher kein Zufall ist :o), können wir die Kreisgleichungen einfach gleich setzen
     
     x²+y²=(x+1)²+(y-7)²
     
     nach x auflösen
     
     x=25-7y (das ist die Gerade, durch die Berührungspunkte)
     
     dieses x in die ursprüngliche Kreisgleichung einsetzen
     
     (25-7y)²+y²=25
     
     nach y auflösen
     
     y_1,2=7/2±1/2
     
     die zugehörigen X-Werte berechnen
     
     x_2,1=1/2±7/2
     
     und schon haben wir die beiden Berührungspunkte der Tangenten durch P₀ an den Kreis x²+y²=25
     
     P₁=(-3,4) und P₂=(4,3).
     
     Die Gleichungen für die Geraden durch die Punkte P₀ und P₁ bzw P₀ und P₂ sollten nun kein Problem mehr darstellen.
     

     • Antwort von nach 16 Stunden hilfreich

       Re^3: Kreis und Geraden (klasse 11)

       ich muß mich echt bei dir bedanken :-)
       also tausend dank :-)
       *g* bloß eines versteh ich nicht es ist ne variabel und zwar das "a" es kommt zweimal in einer gleichung drinne vor bei x1,2 etc.
       was bedeutet? es ...ich hatte in solch einer gleichung noch nie ein a.....nur p und q das wars aber auch schon ;(
       
       
       nic
       

       • Antwort von nach 16 Stunden hilfreich

         Re^4: Kreis und Geraden (klasse 11)

         *g* bloß eines versteh ich nicht es ist ne variabel und zwar
         das "a" es kommt zweimal in einer gleichung drinne vor bei
         x1,2 etc.
         was bedeutet? es ...ich hatte in solch einer gleichung noch
         nie ein a.....nur p und q das wars aber auch schon ;(
         Sorry, dort müßte ein k stehen. Es handelt sich um das konstante Glied der Geradengleichungen y=x/2+k
         

         • Antwort von nach 18 Stunden hilfreich

           Re^5: Kreis und Geraden (klasse 11)

           guti *nunallesverstandenhab* danköö :-)
           
           bye
           

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