Asymptote des Graphen

(Autor: М i a, Frage gestellt am Mi, 13. Okt 1999)

Hallo alle zusammen
ich habe ein kleines mathematisches Problem und zwar würde mich interressieren ,wie man die Asymptote einer gebrochen rationalen Funktion ausrechnet und bestimmt .
Vielen Dank im Voraus
Mia

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Re: Asymptote des Graphen

(Autor: Μ Ε B, Antwort nach 12 h, 2 Min)

interressieren ,wie man die Asymptote
einer gebrochen rationalen Funktion
ausrechnet und bestimmt .

Gebrochen rational? Eine Funktion der
Form y = f(x) / g(x), wobei f und g
Polynome sind.

Meinst Du damit die Polstellen einer
solchen Funktion, die Stellen, wo y gegen
Unendlich oder -Unendlich marschiert?
Das waeren die Nullstellen
der Funktion g im Nenner.

Oder meinst Du eine Annaeherung parallel
zur x-Achse, die immer dann auftritt, wenn
der Grad des Polynoms g im Nenner hoeher ist
als der im Zaehler (z.B. wenn im Zaehler
eine 1 steht und im Nenner x). Die
Asymtote ist dann immer y=0.

MEB

Re^2: Asymptote des Graphen

(Autor: М a r t i n, Antwort nach 1 Tag, 38 Min)

Hallo MEB,

eine Asymptote ist weder eine Polstelle noch die x-Achse. Wenn die Variable x (oder t oder...) einer Funktion gegen plus oder minus Unendlich geht, dann nähern sich manche Funktionen anderen "einfacheren" Funktionen an, und letztere nennt man Asymptoten (der ersten Funktion).

Die Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen erhälst Du durch eine Polynomdivision (lies mal Claudias Beitrag!)

Gruß
Martin

Re^3: Asymptote des Graphen

Ich hatte mir unter einer Asymtote immer
etwas gerades vorgestellt (was anderes
hatte man mir in der Schule auch nicht
erzaehlt)... Nunja, man lernt nie aus...
Deiner Def. zufolge ist die x-Achse eine
moegliche Asymtote.

MEB

Re: Asymptote des Graphen

(Autor: С l а u d і а, Antwort nach 13 h, 38 Min)

Hallo Mia!

Wenn der Grad des Polynoms (also die höchste
vorhandene Potenz von x) im Zähler kleiner
ist als der im Nenner, dann mußt du nichts
rechnen, denn die Asymptote ist in dem Fall
die x-Achse, d.h. y=0

Sind Grad des Zählers uns Nenners gleich
groß, also z.B. im Zähler steht:
8x^3+2x^2-5x+7 und im Nenner:
2x^3-5x^2-9, dann mußt du einfach die Zahlen
vor der höchsten Potenz dividieren, hier in
diesem Fall also 8:2=4, also ist die
Asymptote y=4, die Funktion nähert sich für
x -> oo dem Wert 4.

So, und zum Schluß noch der Fall, daß der
Zählergrad größer als der Nennergrad ist.
Hier mußt du eine Polynomdivision machen,
die meistens nicht aufgeht, es bleibt also
ein Rest. Die Asymptote ist dann der "nicht
gebrochene" Anteil des Ergebnisses. Am
besten ein Beispiel
Zähler: 8x^3+2x^2+x+3
Nenner: 2x-1
Polynomdivison ergibt: 4x^2+3x+2+5/(2x-1)

Dieses "5/(2x-1)" ist der Rest, der als
Grenzwert 0 hat (Zählergrad kleiner
Nennergrad), man kann ihn desewegen
vernachlässigen!
Die Asymptote wäre in diesem Fall
"4x^2+3x+2", also eine Parabel.

Ich hoffe, das war einigermaßen
verständlich, wenn du noch Fragen hast, mail
einfach!!
Viele Grüße Claudia

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