Wie beweist man, dass K_p genau dann ein Körper ist, wenn p prim ist???
Ich weiss mittlerweile, dass das mit der existenz des inversen elementes zu beweisen ist, aber ich komm nicht drauf wie man es beweist
(brauch ich für meine Facharbeit in Mathe)
vielen Dank
T.Schröpf
Wie beweist man, dass K_p genau dann ein Körper ist, wenn p
prim ist???
Ich weiss mittlerweile, dass das mit der existenz des inversen
elementes zu beweisen ist, aber ich komm nicht drauf wie man
es beweist
Hi,
Hier eine kleine Heuristik von mir:
Angenommen die anderen Körperaxiome sind gezeigt.
Sei (Zp,+,*) mit Zp = {0,1,2,3,.....,p-1} gegeben.
Wählen wir ein beliebiges a <> 0 aus Zp und betrachten die Elemente
a*0, a*1, a*2, ...., a*(p-1)
so müssen diese paarweise unterschiedlich sein, da p prim ist.
Wäre das nicht so, gäbe es zwei Zahlen b,c mit a*b = a*c und b<>c, d.h., es würde
a*(b-c)=0 gelten und a wäre Nullteiler. a ist aber genau dann Nullteiler von (Zp,+,*)
wenn es l<p gibt mit l*a=n*p (wegen l*a=0 in (Zp,+,*) ). Kann also nicht sein, da p Primzahl ist.
Da die (p-1) Elemente unterschiedlich sind erhält man eine vollständige Liste von Zp.
Insbesondere kommt auch 1 in der Liste vor, d.h., es gibt j<p, so daß 1=j*a=a*j.
Da a ein beliebiges Element ungleich 0 aus Zp war, ist jedes Element aus Zp
außer 0 invertierbar.
Gruß
Frank