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Signale und Systeme

Von: , Frage gestellt am Sa, 9. Dez 2000

Nächsten Freitag schreibe ich eine wunderbare Klausur über Fourier-Transformierte Funktionen.

Gibt es dazu irgendwo Material im Internet?

So ein paar Fragen die mir spontan einfallen:

- Was soll das eigentlich mit dem Dirac-Impuls sein ;) ?
- Was ist der Sinn dahinter eine Funktion vom Zeit in den Bildbereich(?) zu überführen bzw. wieder zurück?
- Was versteht man im mathematischen Sinne unter Faltung oder Faltungsintegral?

3 Antworten zu dieser Frage

1. Antwort von nach 27 Minuten hilfreich

   Re: Signale und Systeme

   Der Dirac-Impuls ist ein mathematisches Modell, um rechnerisch alle denkbaren Eingangssignale "auf einmal" in ein System zu schicken, und so auch alle denkbaren Systemantworten "auf einmal" zu erhalten, womit dann das Verhalten des Systems, abgesehen von eventuellen Anfangswerten umfassend beschrieben wird. Der Dirac-Impuls ergibt als Ausgangsfunktion die Impulsantwort im Zeitbereich und die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich.
   Der Sinn, eine Funktion in den Bildbereich zu überführen, dort zu berechnen und zu retransformieren ist dieser : Die Berechnung von Differentialgleichungen höherer Ordnung im Zeitbereich lässt sich durch Transformation in den Bildbereich in ein rein algebraisches Problem überführen. Es im Bildbereich zu berechnen ist somit viel einfacher. Nach der Retransformation in den Zeitbereich hat man sich damit sehr viel Berechnungsarbeit gespart.
   Faltung / Faltungsintegral :
   Einer Multiplikation im Bildbereich entspricht die Faltung im Zeitbereich, einer Multiplikation im Zeitbereich die Faltung im Bildbereich.
   
   Hoffe, ich konnte helfen,
   Jürgen [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
   

2. Antwort von nach 11 Stunden hilfreich

   Re: Signale und Systeme

   Hi Bruno :)
   
   - Was ist die Fourier-Transformation
   
   Man kann den Zeitverlauf eines analogen Signal als Summe (Überlagerung) von Sinus-Wellen darstellen. Die Fourier-Transformation (FT) sagt dir, welche Frequenzen diese Sinus-Wellen besitzen und wie stark diese Freqeuenzen, relativ zueinander, im Gesamtsignal enthalten sind. Die FT liefert dir sozusagen das Frequenzprofil eines Signals. Die Transformation findet also von einem Zeit-Bereich in einen Frequenz-Bereich statt, oder umgekehrt.
   
   - Was ist ein Dirac-Puls
   
   Wenn du ein Signal mit konstantem Zeitverlauf hast (also eine Gerade parallel zur Zeit-Achse), dann schwingt darin nichts. Die FT liefert dir also für alle Frequenzen den Wert 0, außer für die Null-Frequenz. Genau bei f=0 hast du Vollausschlag, weil sich das Signal zu 100% aus der "Schwingung" mit der Frequenz Null zusammensetzt. Das ist ein Dirac-Peak im Frequenzbereich.
   
   Da die FT aber in beide Richtungen t <-> f durchgeführt werden kann, enthält ein sehr kurz eingeschaltetes Zeit-Signal extrem viele Frequenzen. Ein unendlich kurzes Zeit-Signal (Dirac-Puls) enthält alle Frequenzen gleich häufig!
   
   - Faltung
   
   Also, du Fourier-transformierst zwei Funktionen a(t) sowie b(t) und erhältst A(f) und B(f). Die beiden Fourier-Transformierten werden multipliziert C(f)=A(f)*B(f). Das Ergebnis C(f) wird wieder in den Zeitbereich zurücktransformiert und du erhälst c(t). Dieses c(t) ist die Faltung von a(t) und b(t). Mit anderen Worten, bei einer Faltung von zwei Funktionen werden die beiden FT miteinander multipliziert.
   
   - Gibt es dazu irgendwo Material im Internet?
   
   http://www.ulib.org/webRoot/Books/Numerical_Recipes/...
   Kapitel 12 und 13 lesen !!!
   
   Viele Grüße
   
   Stefan.
   

   • Antwort von nach 2 Tagen hilfreich

     Re^2: Signale und Systeme

     - Faltung
     
     Also, du Fourier-transformierst zwei Funktionen a(t) sowie
     b(t) und erhältst A(f) und B(f). Die beiden
     Fourier-Transformierten werden multipliziert C(f)=A(f)*B(f).
     Das Ergebnis C(f) wird wieder in den Zeitbereich
     zurücktransformiert und du erhälst c(t). Dieses c(t) ist die
     Faltung von a(t) und b(t). Mit anderen Worten, bei
     einer Faltung von zwei Funktionen werden die beiden FT
     miteinander multipliziert.
     Interessant wäre in diesem Zusammenhang ein Hinweis auf die praktische Bedeutung der Faltung un ihrer Umkehroperation der Entfaltung:
     
     Angenommen man will ein Signal mit einer Meßanordnung messen, die einen systematischen Feher (z.B. infolge thermischer Trägheiten) hat, den man nicht eliminieren kann und der dazu führt, daß das Ausgangssignal aus Anteilen des Eingangssignals zusamengesetzt ist, welche zu verschiedenen Zeiten aufgenommen wurden. In deisem Fall spricht man davon, daß das Ausgangssignal der Meßanordnung verschmiert ist, weil der Fehler mit dem Verschmieren eins frisch gemalten Aqarells verglichen werden kann. Da das Ausgangssignal aus mathematischer Sicht einer Faltung des Eingagngssignals mit einer Gerätefunktion entspricht, kann man das Eingangssígnal zurückzurechnen, indem man das Ausgangssignal mit der Gerätefunktion entfaltet (Entschmierung).
     
     Da ein Meßsignal keine kontinuierliche Funktion ist (wie sie für eine Fourier-Transformation benötigt wird), sondern aus diskreten Werten besteht, arbeitet man gern mit der FFT oder noch lieber mit der Z-Transformation. Letztere hat den Vorteil, daß man Faltung und Entfaltung analytisch lösen kann und numerische Transformation und Retransformation entfallen.
     

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