Hallo Experten,
ich hoffe, Ihr könnt einem Mathe-Laien kurz erklären, wie folgende zwei Aufgabentypen zu lösen sind:
1) arc cos (-1)
2) 2 sin² x - cos x = 1
Das Problem ist also einmal der Umgang mit arc (der Umkehrfunktion) und außerdem mit der Potenz der Funktion.
Danke!
Hi Johannes,
1) arc cos (-1)
Funktion "y = cos(x)" aufmalen; ausgehend vom Ursprung zu positiven x-Werten hin denjenigen Punkt suchen, wo die Funktion erstmalig den Wert -1 annimmt; bei dem dortigen x-Wert handelt es sich um arccos(-1) –> Wert aufschreiben.
2) 2 sin² x - cos x = 1
Unmöglich zu beweisen, weil falsch.
Richtig: 2 sin² x + cos 2x = 1
Für den Beweis brauchst Du das trigonometrische Additionstheorem
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sowie Beziehungen der Art
sin x = cos(90° – x)
cos x = sin(90° – x)
Mit freundlichem Gruß
Martin
2) 2 sin² x - cos x = 1
Wenn das nicht allgemein gemeint war wie in der anderen Antwort angegeben, dann den sin²x durch 1-cos²x ersetzen, die quadratische Gleichung in z=cos(x) loesen, und wenn ich den Aufgabenbauer richtig verstehe, kommt dann wieder die Loesung von 1) ins Spiel.
Ciao Lutz
Lieber Johannes!
ad 1.)
mit dem Taschenrechner: -1 Taste INV Taste COS = 180°
ad 2.)
Bekanntlich gilt: sin²x + cos²x = 1
also:
2 sin² x - cos x = 1
2.(1 - cos²x) - cos x = 1
setze y = cos x
dann entsteht daraus folgende quadratische Gleichung:
y² + 1/2.y - 1/2 = 0
diese besitzt die Lösungen 1/2 und -1
y1 = 1/2 = cos(x1); daraus folgt x1 = 0°
y2 = -1 = cos(x2); daraus folgt x2 = 180°
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung lautet also L = {0; 180}
MfG Franz.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi Franz!
y1 = 1/2 = cos(x1); daraus folgt x1 = 0°
Hier hast Du Dich vertan: arccos(1/2) = 60°
y2 = -1 = cos(x2); daraus folgt x2 = 180°
Das stimmt. Die Lösungsmenge ist also {60°, 180°}.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Franz
ich hoffe, Ihr könnt einem Mathe-Laien kurz erklären, wie
folgende zwei Aufgabentypen zu lösen sind:
1) arc cos (-1)
2) 2 sin² x - cos x = 1
Das Problem ist also einmal der Umgang mit arc (der
Umkehrfunktion) und außerdem mit der Potenz der Funktion.
ad 1.)
mit dem Taschenrechner: -1 Taste INV Taste COS = 180°
Einverstanden.
ad 2.)
Bekanntlich gilt: sin²x + cos²x = 1
also:
2 sin² x - cos x = 1
2.(1 - cos²x) - cos x = 1
setze y = cos x
dann entsteht daraus folgende quadratische Gleichung:
y² + 1/2.y - 1/2 = 0
diese besitzt die Lösungen 1/2 und -1
y1 = 1/2 = cos(x1); daraus folgt x1 = 0°
Siehe anderes Posting: Der Taschenrechner liefert 60°.
Damit hat man aber noch lange nicht alle Lösungen der gegebenen Gleichung ermittelt. Und eine Gleichung lösen heißt nun mal alle möglichen Lösungen zu ermitteln.
Einerseits gilt cos(-x)=cos(x) ==> -60° löst die Gleichung genauso.
Andrerseits ist der Kosinus 2pi bzw. 360° periodisch. ==>
x_11k = 60° + k*360° oder pi/3 + k* 2pi
x_12k = 60° + k*360° oder -pi/3 + k* 2pi mit k element Z
y2 = -1 = cos(x2); daraus folgt x2 = 180°
Hier analog: x_2k = 180° + k*360° oder (2k+1)*pi mit k element Z
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung lautet also L =
{0; 180}
Hier kommen halt noch die oben angegebenen Werte hinzu.
Grüße
Helga