Wer erklärt mir schnell und kurz wie man das totale Differential mit drei unbekannten Variablen bildet?
Muß man die jeweiligen partiellen Ableitungen jeweils summieren oder multiplizieren oder geht das ganz anders?
besten dank im voraus
Musti
Hi,
Du hast also etwas wie F(x,y,z) dazustehen. F"ur das totale Differential muss jetzt irgendeine (evtl. nur abstrakte) Abh"angigkeit x(t),y(t),z(t) der drei Variablen von einer weiteren Unbekannten gegeben sein. Dann ist nach Kettenregel zu verfahren.
dF/dt = Fx x' + Fy y' + Fz z'
Verwirrung kommt von den Sonderf"allen x(t)=t, wo f"ur t auch gleich x geschrieben wird, und z=z(x,y), d.h. es muss angesetzt werden z(t)=z(x(t),y(t)) und entsprechend
z'(t)= zx x' + zy y'
MfG Lutz
Hallo Musti!
Sei f = f(x,y,z) eine skalare Funktion.
Dann gilt für das totale Differential von f:
d f = (partial d/partial dx) * dx
+ (partial d/partial dy) * dy
+ (partial d/partial dz) * dz
Gruß
Martin
Hallo Martin,
erstmal tausend dank für deine Antwort.
Soviel ich verstanden habe ist doch (partial d / partial dx) die partielle Ableitung von f nach x.
Was ich nicht verstehe: was ist denn dx?
Ist es ein Wert was ich berechnen kann?
Und wie wende ich es dann konkret an?
Also nehmen wir an f(x,y,z)=x*2y*3z
Was ist hiervon das totale Differenzial df?
sorry wenn ich nerve aber ich muß das einfach raffen.
Hallo Michi!
Soviel ich verstanden habe ist doch
(partial d / partial dx) die partielle
Ableitung von f nach x.
Achtung: Zwischen "partial d/partial dx" (das ist ein Operator, genauer gesagt ein partieller Differentiationsoperator) und "partial df/partial dx" (das ist die partielle Ableitung von f nach x) besteht ein Unterschied. Aber ich vermute, Du hast schon das richtige gemeint und nur das "f" vergessen.
Was ich nicht verstehe: was ist denn dx?
Ist es ein Wert was ich berechnen kann?
Und wie wende ich es dann konkret an?
Ein "d" vor einem Formelbuchstaben drückt aus, daß die betreffende Größe infinitesimal klein ist (sie wird dann "Differential" genannt). Eine derartige Größe wird NIE als solche berechnet (Du wirst also NIE etwas wie "dx = 5 mm" oder "dt = 0.28 s" zu Gesicht kriegen!). Wenn in einer Gleichung Differentiale auftauchen, dann soll das bloß klarmachen, daß die Gleichung NUR dann gilt, wenn die "d"-Größen "klein" sind, oder mathematisch präziser formuliert: Im Grenzübergang "Alle Differentiale gegen Null" wird die Gleichung exakt.
Stell Dir vor, f beschreibt den Verlauf einer Temperatur entlang eines inhomogen erwärmten geraden Stabes (eindimensional, Koordinate x). Der Temperaturverlauf sei gegeben durch
f(x) = 2*x^4 + 6*ln(x)
(x sei die Strecke in cm und f sei die Temperatur in Grad Celsius).
Dann gilt:
f'(x) = df/dx = 8*x^3 + 6/x
Was man auch in dieser Form schreiben darf:
df := (8*x^3 + 6/x)*dx
Das heißt: Wenn Du Deinen Finger auf die Stelle x=9.25 legst, und ihn davon um ein KLEINES Stück dx wegbewegst, dann erfährst Du gerade eine 8*9.25^3+6/9.25 mal so große Temperaturänderung. Und das gilt umso GENAUER, je WENIGER WEIT Du Dich von 9.25 wegbewegst.
Also nehmen wir an f(x,y,z)=x*2y*3z
Was ist hiervon das totale Differenzial
df?
Wir nehmen mal f(x,y,z) = x^2*y + x*y^7*z^3
Um das totale Differential von f zu bestimmen, mußt Du zuerst die drei partiellen Ableitungen berechnen:
pdf/pdx = 2*x*y + y^7*z^3
pdf/pdy = x^2 + x*7*y^6*z^3
pdf/pdz = x*y^7*3*z^2
Das bedeutet: Wenn Du mit Deinem Finger in einem Raum mit der Temperaturverteilung f(x,y,z) = x^2*y + x*y^7*z^3 auf den Punkt
(x=2.4, y=8.1, z=0.5)
zeigst und ihn dann um eines kleines Stück in x-Richtung wegbewegst, dann erfährst Du eine 2*2.4*8.1+8.1^7*0.5^3 mal so große Temperaturänderung, bei einer Bewegung in y-Richtung dagegen eine 2.4^2+2.4*7*8.1^6*0.5^3 mal so große und bei Bewegung in z-Richtung eine 2.4*8.1^7+3*0.5^2 so große.
Das totale Differential von f ist
df = (2*x*y + y^7*z^3)*dx + (x^2 + x*7*y^6*z^3)*dy + (x*y^7*3*z^2)*dz
Oder allgemein: Das was bei einer Funktion von EINER Variablen ganz unspektakulär
df = f' * dx
lautet, mutiert bei einer Funktion von DREI Variablen x, y, z (d. h. bei einer Funktion, deren Argument ein VEKTOR ist) zu dem Monstrum
df = pdf/pdx * dx + pdf/pdy * dy + pdf/pdz * dz
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.
Gruß
Martin
*dersichjetzterstmalseineFingerneuordnet*
Hallo Martin,
soweit hab ich es (dank deiner hilfe) schon verstanden.
Das totale Differential von f ist
df = (2*x*y + y^7*z^3)*dx + (x^2 +
x*7*y^6*z^3)*dy + (x*y^7*3*z^2)*dz
Mir gehts jetzt nur noch um die Frage, ob ich mit diesem t.D. was konkretes anfangen kann, da das dx bzw. dy und dz nichts konkret faßbares ist (also weder eine Variable noch ein Wert), sondern nur ein mathematischer Begriff, der auf die marginale Veränderung hinweist. Somit ist doch das totale Differential keine Funktion
die man zB.als Ebene zeichnen könnte und damit direkt weiterarbeiten könnte (im Gegensatz zu den partiellen Ableitungen die ja jeweils Funktionen sind).Dann ist das t.D. wohl mehr ein Mittel zum Zweck, wenn man damit andere Schlüsse ziehen will oder beweisen will etc.
Hab ich das so richtig verstanden?
*derallesganzgenauwissenwollende*
Musti
Hallo Michi.
Mir gehts jetzt nur noch um die Frage, ob
ich mit diesem t.D. was konkretes
anfangen kann, da das dx bzw. dy und dz
nichts konkret faßbares ist (also weder
eine Variable noch ein Wert), sondern nur
ein mathematischer Begriff, der auf die
marginale Veränderung hinweist.
Ja, damit triffst Du den Nagel auf den Kopf!
Somit ist
doch das totale Differential keine
Funktion
Vorsicht - hier nichts durcheinanderbringen! Jedes t. D. ist IMMER ein t. D. einer Funktion, d. h. ihm liegt immer eine Funktion (einer oder mehrerer Variablen) zugrunde, aber es ist SELBST KEINE Funktion.
Ein Differential ist nur "eine Größe, die sich auf dem Weg nach Null befindet" (ein Laie würde vielleicht eher vermuten, daß diese Eigenschaft eine Größe wertlos macht, aber in Wirklichkeit trifft eben das genaue Gegenteil zu).
die man zB.als Ebene zeichnen könnte und
damit direkt weiterarbeiten könnte (im
Gegensatz zu den partiellen Ableitungen
die ja jeweils Funktionen sind).
Richtig.
Dann ist
das t.D. wohl mehr ein Mittel zum Zweck,
wenn man damit andere Schlüsse ziehen
will oder beweisen will etc.
Hab ich das so richtig verstanden?
Du hast. Das totale Differential steht in engem Zusammenhang mit einigen anderen Sachen, die super-wichtig (!!!) sind, und die Du deshalb auch bald kennenlernen wirst: Gradient, Linienintegral, der Begriff des Potentials und der Unterschied zwischen konservativen und nicht-konservativen Feldern.
Also: Dran bleiben ;-).
Wenn Dir noch etwas unklar ist: Einfach posten.
Grüße
Martin