Hi,
wie kann ich folgende Aufgabe lösen:
Es seien V ein K-Vektorraum und M Teilmenge von V. Beweisen Sie, daß L(M) der kleinste Untervektorraum von V ist, der M enthält, d.h. für jeden Untervektorraum U Teilmenge von V mit M Teilmenge von U gilt L(M) Teilmenge von U.
Vielen Dank im voraus
Julia
Sei U ein beliebiger UVR. Zu Zeigen alle X in L(M) liegen in U.
Sei X ein Vektor aus L(M). Dann besitzt X eine Darstellung der Form X=a_1m_1 + .. + a_lm_l mit a´s aus dem Koerper und m´s aus
M. Diese ms liegen aber auch alle in U, und dies ist gegenueber Linearkombinationen seiner Elemente abgeschlossen (Def UVR) Daher liegt auch X in U.
Ist es das, was du meinst ?
MFG
Martin
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Hi,
ich weiß nicht ob dein Beweis bei uns passt, denn bei uns besteht die Def. eines UVR aus den 3 Axiomen u+v E U, U != leere Menge und a*u E U, mit Linearkombination haben wir da wenig gemacht.
Ich habe deshalb eher an einen Widerspruchsbeweis gedacht:
Angenommen U ist Teilmenge von L(M) dann gibt es v E L(M), v nicht Element von U,
da U M enthält, und M = {v1....vn} gilt
v= a1*v1+....an*vn.
Wenn ich jetzt z.B. nach vn auflöse erhalte,
kann ich vn nur mit Hilfe von v ausdrücken, jedoch war v kein Element von U und deswegen kann vn nicht Element aus U sein.
Damit ein Widerspruch.
Ist das falsch....
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Hi,:ich weiß nicht ob dein Beweis bei uns:passt, denn bei uns besteht die Def.:eines UVR aus den 3 Axiomen u+v E U, U !=:leere Menge und a*u E U, mit:Linearkombination haben wir da wenig:gemacht.
Daraus folgt sofort, daß jede (endliche) Linearkombination von Vektoren des Teilraums wieder im Teilraum liegt (notfalls über vollst. Induktion). Je nach Eurem Stand mußt Du evtl. beweisen, daß L(M) ein UVR ist.
Ich habe deshalb eher an einen:Widerspruchsbeweis gedacht:
Angenommen U ist Teilmenge von L(M) dann:gibt es v E L(M), v nicht Element von U,:da U M enthält, und M = {v1....vn} gilt: v= a1*v1+....an*vn.
Das ist schon der Widerspruch, damit ist v nämlich aus L(M).
Wenn ich jetzt z.B. nach vn auflöse,:kann ich vn nur mit Hilfe von v:ausdrücken, jedoch war v kein Element von:U und deswegen kann vn nicht Element aus:U sein.:Damit ein Widerspruch.
Ist das falsch....
Nein, Du mußt nur aufpassen, daß an nicht Null ist.
MfG Lutz