absolut normale Zahlen...
Von: , Frage gestellt am Sa, 25. Aug 2001
Hallo!
Kennt jemand den Begriff "normale Zahl"?
Ich habe damit ein kleines Problem, denn ich habe zwei Defintionen für "normale Zahl" gefunden.
Sei x aus [0,1].
(1) x heißt (binär)-normal, wenn in der Binärdarstellung
x=0.x1 x2 x3...
für jedes k>=1 jeder mögliche k-Block "gleichwahrscheinlich" ist.
Formal habe ich das mal so aufgeschrieben:
für alle k=1,2,... für alle r=0,...,2^k-1 gilt:
# { l<=n | xl xl+1 ... xl+k = r } -> 1/2^k für n->inf.
Beispiel:
- in 0.0101010101 ist jeder 1-Block (0 und 1) gleichwahrscheinlich.
- in 0.00 01 10 11 00 01 10 11 ... ist jeder 2-Block gleichwahrscheinlich, ...
- in 0.0 1 00 01 10 11 000 001 010 011 100 101 110 111 ...
ist jeder k-Block gleichwahrsch., d.h. die Zahl ist (binär-)normal.
(2) x heißt normal, wenn in jeder beliebigen Basisdarstellung jede Ziffer gleichwahrscheinlich ist, d.h.
für alle Basen b=2,3,... und für alle r=0,...,b-1
# { l<=n | xl = r } -> 1/b für n->inf.
Nun würde ich intuitiv sagen, daß beide Definitionen äquivalent sind. (2) => (1) ist auch trivial, aber bei (1) => (2) komme ich nicht weiter.
Aber das sollte doch auch gehen, denke ich, denn jede Zahl (insbesondere die Basis, die Ziffern von x, etc.) läßt sich doch eindeutig im Binärsystem schreiben...
Kennt sich da zufällig jemand mit aus? Hat jemand einen Beweis oder möchte sich daran versuchen?
Danke vielmals!
Frank.