fläche Berechnung Quadrat abc Symmetrie rechtwinkligen Dreieck rechtwinkliges Dreieck

Pythagora's Satz in 3D

Von: , Frage gestellt am So, 5. Dez 1999

Pytagora's Satz in 2D sagt uns folgendes:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Katheten-QUADRATE flächengleich dem QUADRAT über der Hypotenuse,d.h.,wenn im Dreieck ABC gilt *winkel*ABC=90°,
so ist a^2+b^2=c^2
Gut...wenn das so schön in 2D geht,dann wäre aus Schönheits(Symmetrie-)gründen sowas auch in 3D möglich,wenn wir die 2D-Objekten durch entsprechende 3D-Objekten austauschen würden!(Quadrate mit Volümen)
Das geht aber nicht...!
Meine Frage ist:
WARUM geht das nicht wirklich?
Was passiert man beim Übergang von 2D zu 3D?
Was bricht die Symmetrie ?
Warum bricht die Symmetrie überhaupt zusammen?
Oder wie sollte die Formel ausschauen,dass dieselben Auswirkungen in 3D wie in 2D auftretten?
Hmmm...ich finde das recht interessant,und freue mich auf jede Antwort!
Danke!
Marc

8 Antworten zu dieser Frage

Antwort von nach einer Stunde hilfreich

Re: Pythagora's Satz in 3D

Hi, so ist a^2+b^2=c^2
Gut...wenn das so schön in 2D geht,dann
wäre aus Schönheits(Symmetrie-)gründen
sowas auch in 3D möglich,wenn wir die
2D-Objekten durch entsprechende
3D-Objekten austauschen würden!(Quadrate
mit Volümen)
Das geht aber nicht...!
Also ich bin kein Mathematiker und verstehe das Problem vielleicht nicht, aber der Satz des Pytagoras funktioniert auch im Raum. Wenn Du einen 3D-Vektor hast dessen komponenten a b und c sind so ist seine Laenge natuerlich
( ( (a^2 + b^2)^(1/2) )^2 + c^2 )^(1/2)

Thorsten
- Antwort von nach einer Stunde hilfreich
  
  Re^2: Pythagora's Satz in 3D P.S.:
  
  Das funktioniert natuerlich nur in einem Euklidschen Raum (da ist die kurzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine gerade). Da gilt es aber immer, da ein Dreieck (fuer das ja der Satz des Pytagoras gilt) sowieso immer in einer Ebene liegt. In anderen Raeumen (z.B. Kugel-Oberflaeche) gilt es nicht, da dort die Winkelsumme nicht (immer) 360° betraegt.
  
  Gruss
  
  Thorsten
- Antwort von nach 4 Stunden hilfreich
  
  Re^2: Pythagora's Satz in 3D
  
  Hallo Thorsten!
  Natürlich funktioniert der Satz auch im Raum!Aber ich habe die Problematik ein bisschen anders gestellt.Der Satz des Pythagoras gilt nur für ein Rechteckwinkel(ein 2D-Objekt).Die Quadrate sind auch 2D-Objekte.Jetzt anstatt 2D-Ojekte,nehme ich 3D,antatt Dreieck Prisma,Quadrat Würfel.Die Flächen verwandeln sich jetzt in Volumen.
  Jetzt sollte die Formel ausschauen
  a^3+b^3=c^3
  das stimmt aber nicht.Das Verhältnis der Volumen beträgt sich nicht gleich wie das Verhältnis der Flächen... [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
  - Antwort von nach 4 Tagen hilfreich
    
    Re^3: Pythagora's Satz in 3D
    
    Der Satz des
    Pythagoras gilt nur für ein
    Rechteckwinkel(ein 2D-Objekt).Die
    Quadrate sind auch 2D-Objekte.Jetzt
    anstatt 2D-Ojekte,nehme ich 3D,antatt
    Dreieck Prisma,Quadrat Würfel.Die Flächen
    verwandeln sich jetzt in Volumen.
    Jetzt sollte die Formel ausschauen
    a^3+b^3=c^3
    das stimmt aber nicht.Das Verhältnis der
    Volumen beträgt sich nicht gleich wie das
    Verhältnis der Flächen...
    Also die Formel
    a^2+b^2=c^2
    kann ja nicht in
    a^3+b^3=c^3
    überführt werden, weil das schon an geometrischen Überlegungen scheitert. Bei einem rechtwinkligen Dreieck geht das mit den Quadratflächen und es funktioniert weiterhin NUR dann, wenn anstelle der Quadrate drei Quader benutzt werden, deren Grundfläche den ursprünglichen Quadraten entspricht und deren Höhe IDENTISCH ist. Als gemeninsame Höhe kann z.B. c dienen. Dies entspräche einer äquivalenten Umformung des Pythagorassatzes zu
    ca^2+cb^2=c^3.
    a und b sind aber im rechtwinkligen Dreieck jeweils immer kleiner als c und somit ist beim rechtwinkligen Dreiek immer
    a^3+b^3<c^3.
    
    Oder war es doch wieder ganz anders gemeint?
    Gruß
    W.
    - Antwort von nach 5 Tagen hilfreich
      
      Re^4: Pythagora's Satz in 3D
      
      Hallo Wolfgang! Also die Formel
      a^2+b^2=c^2
      kann ja nicht in
      a^3+b^3=c^3
      überführt werden, weil das schon an
      geometrischen Überlegungen scheitert. Bei
      einem rechtwinkligen Dreieck geht das mit
      den Quadratflächen und es funktioniert
      weiterhin NUR dann, wenn anstelle der
      Quadrate drei Quader benutzt werden,
      deren Grundfläche den ursprünglichen
      Quadraten entspricht und deren Höhe
      IDENTISCH ist.
      bis jetzt ist es alles klar,nur WARUM müssen die Quader eine IDENTISCHE HÖHE haben???
      Welche ähnliche Bediengung gibt es in 2D?
      Danke dür die Antwort!
      Marc
      - Antwort von nach 11 Tagen hilfreich
        
        Re^5: Pythagora's Satz in 3D
        
        bis jetzt ist es alles klar,nur WARUM
        müssen die Quader eine IDENTISCHE HÖHE
        haben???
        Welche ähnliche Bediengung gibt es in 2D?
        Danke dür die Antwort!
        Marc
        In 2D ist die gedachte "Höhe" 1. Es lassen sich außerdem nicht Regeln einfach so von zwei auf drei Dimensionen übertragen. "Schlimmes" Beispiel dafür ist z.B. die Konstruktion von Dreiecken (eigentlich 2D) auf Kugelflächen (3D). Plötzlich kann ein Dreieck drei rechte Winkel haben...
        Zwei Vorschläge habe ich noch für Dich:
        
        1. anschaulich
        Nimm Dir einen Haufen würfeliger (identischer) Bauklötze oder ähnliches und lege diese an ein rechtwinkliges Dreieck mit
        a = 3 Würfelkanten,
        b = 4 Würfelkanten und
        c = 5 Würfelkanten.
        Lege an a ein Quadrat aus neun Würfeln, an b eines aus 16 Würfeln und an c eines aus 25 Würfeln. Die Höhe Deiner quadratischen Quader ist jetzt eins (= eine Würfelhöhe). jetzt kannst Du die gleiche Konstruktion noch einmal daneben aufbauen. Nimm dann beide Konstruktionen und lege sie übereinander - damit machst Du Deine bestehenden Quadratquader höher, aber alle genau gleich hoch... (AHA!?)
        Das Ganze kannst Du beliebig oft wiederholen. Schon bei der Höhe von drei Würfeln ist ja an der Kante a schon ein großer 3x3x3-Würfel entstanden. Bei den anderen beiden Kanten fehlt aber noch eine bzw. zwei Lagen, um einen großen Würfel zu erhalten. Trotzdem stimmt die (erweiterte) Pythagoras-Gleichung so, wie das Gebilde jetzt aussieht.
        
        2. rechnerisch
        Mach doch einfach mal eine simple äquivalente Umformung von a^2+b^2=c^2, so daß auf der rechten Seite c^3 steht. Dann steht auf der linken Seite zusätzlich eben ein c vor jedem Summanden und da a und b beide kleiner als c sind, wird Deine Idee schon durch die einfachsten mathematischen Regeln über den Haufen geworfen.
Antwort von nach 7 Stunden hilfreich

Re: Pythagoras-Satz in 3D

Deine Verallgemeinerung auf 3D mußt Du bitte nochmal genauer erklären:

Das Dreieck soll zu einem Prisma werden, und die Quadrate zu Quadern? Dann brauchst Du zur Beschreibung aber dich nicht mehr nur a und b, sondern außerdem noch die Tiefe des Prismas d. Die Formel im Dreidimensionalen kann also allein deshalb nicht

a^3 + b^3 = c^3

heissen, weil Du ja einen zusätzlichen Freiheitsgrad d hast, der in der Formel für die Berechnung der Flächen irgendwo vorkommen muß.

Die einzige Verallgemeinerung des Pythagorassatzes für den n-dimensionalen Fall, die mir bekannt ist, ist die Formel für die Berechnung der Länge der Diagonale d eines n-dimensionalen Quaders der Ausdehnung (x1, x2, ..., xn):

d^2 = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2.

Im "kanonischen" 2D-Fall ist die Hypothenuse ja auch die Diagonale eines 2D-Quaders, also eines Rechtecks.

Gruß,

Marcus
Antwort von nach einem Tag hilfreich

Übrigens, ...

Pytagora's Satz in 2D sagt uns folgendes:
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der Katheten-QUADRATE flächengleich
dem QUADRAT über der Hypotenuse,d.h.,wenn
im Dreieck ABC gilt *winkel*ABC=90°,
so ist a^2+b^2=c^2
... wenn der Winkel ABC gleich 90° ist, dann gilt: a^2+c^3=b^2.

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