Hallo Wer.Weiss.Was-Experten!
Meine Kinder sind in der 10. Klasse und nehmen im Matheunterricht Logarhythmen durch. Was ist ein Logarhythmus? Ich bin da leider sehr unbeholfen. Danke für ihre Hilfe.
Logaritmen sind Hochzahlen, also die Exponenten von Potenzen.
Um Logaritmen zu verstehen, muss man est einmal wissen
was Potenzen in der Mathematik sind.
Also: " 2x 2 x 2 ist eine Multiplikation und ergibt
8. Um das abzukürzen, schreibt man in der Mathematik
2³, gesprochen „Zwei hoch Drei“ oder auch „Zwei zur Dritten Potenz“ Die Zahl 2 ist dabei die sog. Basis, die 3 nennt man die Hochzahl. Multipliziert man 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5, ist das 5 hoch 7, also Basis 5, Hochzahl 7.
Jetzt zu den Logarithmen: Wenn man die Zahl 8 als Potenz von 2 schreiben will, muss das lauten 2³.
Also ist die Hochzahl, mit der man 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten, 3. Man sagt: der Logaritmus von 8 zur Basis 2 ist 3. Ebenso ist der Logaritmus von 27 zur Basis 3 auch wieder 3, weil 3 x 3 x 3= 27= 3³., aber die Basis ist ja jetzt auch 3 und nicht mehr 2.
Man kann also zu jeder beliebigen Basiszahl ein Logaritmensystem „erfinden“.
Bleiben wir bei Basis 2, als Beispiel.
log basis 2 ( oder Zweierlogaritmus) von 16 ist 4, von 32 ist 5 usw. Immer schöne, glatte Zweierpotenzen.
Wie aber lautet der Logaritmus zur Basis 2 von der Zahl 25?
Er muss größer als 4, aber kleiner als 5 sein.Irgendwas wie 4,5678… ( ist sicher falsch, weil ich weder Zeit noch Lust habe, das genau nachzuschlagen) Also eine Zahl mit Ziffern hinter dem Komma.
Wenn man entsprechend lange arbeitet, kann man beliebig viele Stellen hinter dem Komma ausrechnen.
Wenn man Exponentialrechnung betreibt, kann man von einer Logritmenbasis auf eine andere umrechnen. In der Praxis interessieren eigentlich nur Logaritmen zur Basis 10 ( Zehnerlogaritmus) und zur Basis e ( natürlicher Logaritmus). Die Zahl e ( also die Basis der natürlichen Logaritmen, 2,71…es folgen unendlich vieleZiffern hinter dem Komma, die Zahl ist nicht rational!) hat die besondere Eigenschaft, dass die Darstellung von Wachstumsformen in der Natur und die Exponentialrechnungen ganz besonders einfach und glatt werden.
Egal, welche Logaritmen man verwendet, sind die ganzzahligen oder glatten Brüche die Ausnahme. Man bricht im Ernstfall nach 4, 5 oder 10 Stellen hinter dem Komma ab, wodurch konkrete Berechnungen einen Fehler aufweisen, der sich aber beliebig klein machen lässt, wenn man eben mehr Stellen verwendet.
Da Logaritmen das Rechnen mit großen Zahlen und in mehreren Rechenvorgängen wesentlich vereinfachen, wurden Logaritmentafeln frühewr mühevoll berechnet und gedruckt. Heute hat jeder Taschenrechner die Logaritmen „drauf“, bzw. berechnet sie einfch neu.
Wahrscheinlich haben die Schüler deshalb heute eine noch weniger präzise Vorstellung davon, was diese Hochzahlen bedeuten.
Ich hätte gern ein Wenig Feedback, ob Ihnen diese Erklärung aus dem Ärmel etwas genützt hat. Ansonsten kann ich nur das Mathe-Buch der 10. Klasse empfehlen, da steht es sicher sehr viel besser erklärt drinnen.
Gruß
Jäkel
Hallo Wer.Weiss.Was-Experten!
Meine Kinder sind in der 10. Klasse und nehmen im
Matheunterricht Logarhythmen durch. Was ist ein Logarhythmus?
Ich bin da leider sehr unbeholfen. Danke für ihre Hilfe.
Nun ein Logarthytmus berechnet dne exponenten x einer exponential funktion der Form e^x=y für ein gewünschtes ergebnis.
Wichtig der taschenrechner kennt je nachdem bis zu drei verschiedene Logarythmen. den sog LN den natürlichen Logarythmus dieser leg die basis, oben als e bezeichnet, als die eulerische zahl fest.
Der zweite typ vom logarythmus den der taschenrechner kennen sollte ist der Lg. Dieser typ ist auf die basis 10 festgelegt.
Der dritte Typ kennen nur moderne Taschenrechner den sog. Log dieser Logharytmus ist auf keine basis festgelegt
Gebraucht wird der Lograthitmus um zeiträume im exponentiellen Wachstum zu berechnen.
zum beispiel nach wievielen jahren hat sich ein kapital mit einem jährlichen zinssatz von 2% sich verdoppelt?
Mitdieser Fragestellung erhält man folgende gleichung
Startkapital =1
zielkapital=2
wachstumsrate:102%= 1.02
ti
1*1.02^x=2 (zinseszinsrechnung)
x entspricht der anzahl der jahre
um nun x zu bestimmen benutzen wir den logarythmus folgender maßen:
Log_1.02(2) (_ = runter gestellt
gesprochen wird das logarythmus 2 zur basis 1.02
das ergebnis dieser rechnung ist 35,003
ich hoffe das war als grobe zusammenfassung zufrieden stellend sollten noch weitere fragen bestehen stehe ich ihne gerne zur verfügung
ps: entschuldigen sie etweilige rechtschreib und grammatikfehler bin gerade etwas müde