Algebra Aufgabe

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe/-r Experte/-in,
Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben,

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe wird.
b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung
3°x°x=15

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus von G.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}
ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Bei der 1.) habe ich wirklich gar keinen Plan, da ich so eine Gleichung noch nie zuvor gesehen habe und ich nicht weiß, wie man so was löst.
Bei 2.) habe ich wenigstens die kleine Ahnung, dass ich bei a) um Automorphismus zu beweisen, zuerst den Homomorphismus und den Isomorphismus beweisen muss, aber wie ich so einen Beweis mache und hinbekommen, weiß ich nicht. Bei b) und c) sieht es ähnlich aus.

#2

ad 1a) such dir raus, was eine abelsche gruppe ausmacht, und versuche mal, die einzelnen axiome mit der gegebenen definition nachzurechnen. fuer abelsch ist z.b. x.y=y.x zu zeigen, also xy+x+y=yx+y+x, sieht gar nicht so abwegig aus, was?
ad 2a) such dir raus, was ein gruppenhomo ist, und rechne es nach. dann gib eine umkehrabbildung an, und du bist fertig, wenn ihr die entsprechenden saetze hattet.
ad 2b) sind homomorphe bilder von gruppen gruppen? wann heissen zwei mengen gleichmaechtig?
ad 2c) such dir die definitionen raus …

allgemein muss ich zu deiner frage sagen, dass es nicht so aussieht, als haettest du dich ueberhaupt damit auseinandergesetzt. der erste schritt bei jeder aufgabe ist immer, sich die definitionen aller unklaren begriffe rauszusuchen, und dann mit diesen mal ein bisschen rumzuspielen.
bei anfaengeraufgaben wie den obigen ist es sehr oft so, dass reines einsetzen der definitionen schon zum ziel fuehrt, es ist nur sehr wenig knobeln involviert.

auch wirst du nicht auf viel verstaendnis treffen, wenn du moechtest, dass dir jemand deine uebungsblaetter loest. von jemandem, der sich mit den aufgaben beschaeftigt hat, wuerde man eher fragen wie „ich habe leider keine idee, wie ich das neutrale element dieser gruppe finden kann“ erwarten.

viele gruesse,
peter

#3

Hi

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe
wird.

hiezu musst du einfach zeigen, dass die Verknüpfung auf der Menge A die Axiome einer abelschen Gruppe erfüllt.

b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung
3°x°x=15

berechne zuerst x°x an Hand der Definition der Verknüpfung, nenne das Ergebnis t. Setze das Ergebnis. Setze in der Definition der Verknüpfunge x=3 und y=t. Das gibt eine Gleichung, die du nach t auflösen kannst. Dann hast du das Ergebnis.

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine
beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus
von G.

Du muss zeigen, dass fx(g°h) = fx(g) ° fx(h) ist für alle g,h aus G. Dazu fängst du mit der linken Seite an und rechnest da solange mit der Verknüpfung, bis die rechte herauskommt. Du kannst auch erst die linke ausrechnen, dann die rechte und zeigen das beide gleich sind. Danach musst du noch zeigen, dass fx surjektiv und injektiv ist
Injektiv: Nimm an fx wäre nicht injektiv, dann gibt g und h aus G mit g ungleich h und fx(g) = fx(h). Wende auf die Gleichung Aquivalenzumformungen an. Du wirst dann finden, dass g gleich h sein muss. Was ein Widerspruch zur Annahme, das fx nicht injektiv ist.
Surjektiv: Zeige, dass fx(g) = h für h aus G eine Lösung g aus G hat.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}
ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

Nachrechnen, dass x°H°x^-1 die Kriterien für eine Untergruppe erfüllt.
x°H°x^-1 ist das Bild der Untergruppe H von bzgl. der Abbildung fx. Dann ist fx ein Homomorphismus von H nach x°H°x^-1. Was hast du unter a) gezeigt? Was bedeutet das für die Mächtigkeit der Mengen?

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Du musst zeigen, dass g°H°g^-1 = H für alle g aus G gilt.
Nimm an H wäre kein Normalteiler, dann gibt es ein g mit
g°H°g^-1 ungleich H. Welche Mächtigkeiten haben diese
Gruppen, vgl. b)? Welche Mächtigkeit hat ihre Vereinigung?
Was folgt daraus?

Ciao!

Sarah

#4

Ich kann diese Aufgabe leider auch nicht einigermaßen einfach lösen! Tut mir leid! hk

#5

Bei diesen Aufgaben müssen lediglich die Definitonen nachgeprüft werden. Eine abelsche, also kommutative Gruppe hat doch 5 Bedingungen (kommutativ, abgeschlossen u.s.w.) die nachgerechnet werden müssen.
Informieren dich über die jeweiligen Bedingungen und dann müsste das klappen.

#6

Eine Frage zu 2a)

fx(g°h) = fx(g) ° fx(h)
fx(g)°fx(h)
x°g°x°^-1°fx(h)
g°fx(h)
fx(g°h)
wäre das so richtig?

#7

Liebe/-r Experte/-in,
Brauche dringend Hilfe zu diesen Aufgaben,

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe
wird.

>>> etc.

Antwort:
Lieber Mathe-Anfrager, leider muss ich passen, in diesem Teil der Algebra bin ich länger nicht involviert. Viel Erfolg mit anderen Experten. - Sorry,
Dieter

#8

Hallo,

zu Aufgabe 1 kann ich einen hoffentlich hilfreichen Tipp geben.
Setze x ° y = z und beachte zunächst nicht, dass x, y, z = -1 ausgeschlossen sind.
Dann gilt (x+1) * (y+1) = z+1, wobei * für die herkömmliche Multiplikation steht. Man kann das durch Nachrechnen verifizieren.
Setze x´=x+1, y´=y+1, z´=z+1
Dann gilt
x´*y´=z´
Die Transformation führt die vorgegebene Gruppe über in die herkömmliche Multiplikation über der Menge der reellen Zahlen.
Nun sind aber x, y, z = -1 ausgeschlossen, also sind x´, y´, z´ = 0 ausgeschlossen.
Somit ergibt sich die herkömmliche Multiplikation über der Menge der reellen Zahlen ohne 0. Das ist eine abelsche Gruppe, denn die Abgeschlossenheit ist auch nach Ausschluss der 0 weiterhin gegeben.
Mit der Transformation kann man die Unteraufgabe b sehr einfach lösen.
Gegeben ist
y´*x´*x´=z´
mit y=3, z=15, x ist zu berechnen.
y´=y+1=4, z=z+1=16, also 4\*x´\*x´=16 x*x=4 x1=2, x2=-2 x1=x1-1=1, x2=x2`-1=-3.
Zur Probe kann man diese Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Man berechne zunächst 3°x1=3*x1+3+x1=3*1+3+1=7 usf.

Für die Aufgabe 2 hatte ich noch keine Zeit. Bitte Rückmeldung in einigen Tagen, wenn bis dahin noch kein brauchbarer Lösungsvorschlag eines anderen Experten vorliegt.

Gruß

Baxbert

#9

Hallo,
ich habe leider nur wenig Zeit, daher gebe nur die grundsätzlichen Lösungswege an, ohne konkrete Rechungen. Die sind aber recht einfach. Wichtig ist erstmal sowieso, dass du die eigentlichen Aufgabenstellungen verstehst.

1.)
a) Zeigen Sie, dass die Menge A:= R (ohne -1) mit der
Verknüpfung x ° y:= xy+x+y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe
wird.

Es müssen folgende Dinge gezeigt werden um zu begründen, dass es sich um eine abelsche Gruppe handelt:
i) Die Gruppe ist abgeschlossen.
Das die Verknüpfung nach R geht ist klar, da R als Körper abgeschlossen ist. Allerdings ist -1 kein Element der Menge A. Daher muss man zeigen, das falls x,y nicht in A folgt, dass x°y ungleich -1 ist. Mit einem Widerspruchsbeweis zu lösen.

ii) Existenz eines neutralen Elementes. Das ist die Null. Prüfe nach, dass für alle x aus A gilt: 0°x = x.

iii)Existenz von inversen Elementen. Sei x aus A, dann ist -x/(x+1) aus A (also ungleich -1, leicht zu zeigen). -x/(x+1) ist das vermutete inverse Element. Das muss du nachprüfen. Zu zeigen ist also: x°(-x/(x+1)) = 0

iv)Die Assozativität muss gezeigt werden: (x°y)°z=x°(y°z)

v)Abelsche Gruppen sind kommutativ. Also muss du noch zeigen: x°y = y°x.

b) Lösen Sie in (A,°) die Gleichung
3°x°x=15

Einfach nach der Definition von ° einsetzen und ausrechnen.
Zu Kontrolle: 3°x°x = 4x^2+8x+3
Mit 15 gleichsetzen und mit PQ-Formel ausrechnen.

Leider habe ich gerade keine Zeit, die anderen Aufgaben zu erklären. Melde mich später nochmal, wenn ich etwas mehr Zeit habe…
Gruß, Peter

2.)Es seien (G,°) eine endliche Gruppe, H Teilmenge G eine
beliebige Untergruppe und x € G. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung fx:G->G, g->x°g°x^-1 ist ein Automorphismus
von G.

b) Die Menge x°H°x^-1 := {x°g°x^-1 ,g € H}
ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner IHI = Ix°H°x^-1I

c) Ist IHI = k und IGI = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.

Bei der 1.) habe ich wirklich gar keinen Plan, da ich so eine
Gleichung noch nie zuvor gesehen habe und ich nicht weiß, wie
man so was löst.
Bei 2.) habe ich wenigstens die kleine Ahnung, dass ich bei a)
um Automorphismus zu beweisen, zuerst den Homomorphismus und
den Isomorphismus beweisen muss, aber wie ich so einen Beweis
mache und hinbekommen, weiß ich nicht. Bei b) und c) sieht es
ähnlich aus.

#10

Korrektur zur Antwort von Baxbert:

Bei der herkömmlichen Multiplikation über der Menge der reellen Zahlen muss die 0 ausgeschlossen werden, da es für sie kein inverses Element gibt. Daher muss in der vorgegebenen Gruppe -1 ausgeschlossen werden.

Gruß

Baxbert

#11

Hallo larryhunter,

wer-weiss-was ist keine Hausaufgaben-Hilfe. Daher keine Antwort!

Mfg

Ted

#12

Kann leider nicht helfen. Baxbert.