Integral berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Man berechne das Integral:

∫ (x+1) / (2x^2 + 2x - 4) dx"

Es ist also unbestimmt. Nun habe ich versucht, mit der Substitutionsregel voran zu kommen.
Hier habe ich den Ausdruck mit „x^2“ = z gesetzt:

z = 2x^2 + 2x - 4

Zudem habe ich die Ableitung dessen gegen dz/dx gesetzt und nach dx aufgelöst:

dz/dx = z’
dz/dx = 4x + 2
dz/(4x+2) = dx 

Dies habe ich nun wieder ins Integral eingesetzt:

∫ ((x+1)/z) * (dz/(4x+2))

Das x im Zähler kürzt sich mit dem 4x im Nenner:

∫ (1/z) * (dz/(3x+2))

Doch nun komme ich nicht weiter. 
Den Ausdruck im Nenner bei dz/… muss ich ja eigentlich vor das Integral bringen, richtig?
Wäre in dem Fall:

1/(3x+2) ∫ (1/z) * dz

Wenn ich nun integriere, erhalte ich:

1/(3x+2) * ln(z) + C

So… abgesehen davon, dass ich befürchte, dass bis hierher schon der ein oder andere Fehler begangen wurde, weiß ich ab jetzt garnicht mehr weiter.

Ich bin dankbar über jede Korrektur und über jeden Hinweis, wie ich richtig fortfahre!

1000 Dank vorweg!

Schönen Gruß

Reiner

#2

Das x im Zähler kürzt sich mit dem 4x im Nenner:

Aus Summen kürzen nur die Dummen.
(Ich möchte nicht ausschließen, dass ich Deine Schreibweise missverstanden habe, aber wenn ich es richtig verstehe, dann darf man so nicht kürzen.)

#3

Abschreibfehler?
Hi,

wurde die Aufgabe richtig abgeschrieben?

∫ (2x+1) / (2x^2 + 2x - 4) dx

oder

∫ (x+1/2) / (2x^2 + 2x - 4) dx
bzw.
∫ (x+0,5) / (2x^2 + 2x - 4) dx

ließen sich wesentlich leichter lösen.

MFG

#4

Hallo,

folgende Aufgabe:

"Man berechne das Integral:

∫ (x+1) / (2x^2 + 2x - 4) dx"

Es ist also unbestimmt. Nun habe ich versucht, mit der
Substitutionsregel voran zu kommen.

Beim Thema Partialbruchzerlegung mal wieder gefehlt?

(x+1) / (2x^2 + 2x - 4) = (1/6) * ( 2 / (x-1) + 1 / (x+2))

#5

Ist korrekt so abgeschrieben… habe mir auch den Hinweis unten mit der Partialbruchzerlegung angesehen, allerdings fehlt mir da noch der Durchblick. Die genaue Vorgehensweise ist mir nicht bekannt bzw. kann ich auf diese Aufgabe nicht anwenden.

Vielleicht geht mir mit Eurer Hilfe ja noch das Licht an.

#6

Allwissende würden in diesem Forum keine Fragen stellen. :stuck_out_tongue:

Mir ist die Vorgehensweise der Partialbruchzerlegung nicht bekannt. Habe mir in Internet-Tutorials versucht, mir die Vorgehensweise anzueignen. Allerdings speziell auf diese Aufgabe anzuwenden fällt mir schwer.
Muss ich zunächst eine Nullstelle des Nenners erraten? Wäre in dem Fall ja (x + 1).
Wenn ich dies gemacht habe, wie geht es weiter? Polynomdivision? Und dann…?

Du merkst, viele Fragen? Wenig Lösung ^^

Ich hoffe Du kannst mir da noch auf die Sprünge helfen.

Schönen Gruß!

Reiner

#7

Oder rechne ich mit der pq-Formel? Wenn ja, würde dies folgendermaßen aussehen:

2x^2 + 2x - 4 = 0 / :2
x^2 + x - 2 = 0

pq-Formel:

x1 = 1 und x2 = -2

Wie gelange ich nun aber zur Partialbruchzerlegung?
Kann ich die Nullstellen einfach als Nenner der Funktion einfügen?

(x+1) / ((x+1) * (x-2))

und dann die Partialbruchzerlegung durchführen?

(x+1) / ((x+1) * (x-2)) = A / (x+1) + B / (x-2)

B = 1
A = 0

Eingesetzt ergibt die Partialbruchzerlegung:

(x+1) / ((x+1) * (x-2)) = 0 / (x+1) + 1 / (x-2) = 1 / (x-2)

So zumindest meine Rechnung zum Thema Partialbruchzerlegung. Wie und wo jetzt allerdings integriert wird und wie Du zudem auf Dein Ergebnis kommst… ich bleibe weiter ratlos.

Hoffe Du kannst mir weiterhelfen. DANKE!

Reiner

#8

Sorry, Vorzeichenwechselfehler begangen.

(x+1) / ((x+1) * (x-2))

und dann die Partialbruchzerlegung durchführen?

(x+1) / ((x+1) * (x-2)) = A / (x+1) + B / (x-2)

Lautet natürlich (x-1) und (x+2)

Somit erhalte ich:

A = 2/3
B = 1

eingsetzt kommt heraus:

(x+1) / ((x-1) * (x+2)) = 2/3 / (x-1) + 1 / (x+2)

So… doch nun… wie weiter?

PS: Entschuldige meine vielen Kommentare. Immerhin zeigt es Dir, dass ich mich damit auseinandersetze. :stuck_out_tongue:

#9

Hallo,

Deine Unkenntnis der Partialbruchzerlegung und Deine Frage nach der Lösung dieser Aufgabe passen nicht zusammen. Die Standardmethode für Integrale dieser Bauart ist die PBZ, weil man damit einfach nur rechnen braucht, ohne irgendwo irgendwas raten zu müssen. Wer auf die PBZ verzichten will, ist zwar noch nicht verloren, muss das aber durch mehr oder weniger viel Rategeschick wettmachen. Was da jetzt im Sinne des Lernzieles bei dieser Aufgabe ist, kann niemand wissen, außer Du erläuterst den entsprechenden Kontext Deines Übungsprogramms.

Hier vier Ansätze, mit denen Du das Ding auch ohne PBZ klarmachen kannst:

(1) Dank Deines mathematischen Adlerauges kannst Du sehen, dass \frac{1}{u(u+1)} dasselbe ist wie \frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}. Letztlich wäre das eine PBZ mit erratenem Ergebnis.

(2) Eine gute Fee flüstert Dir zu, es bei dem Integral \int \frac{1}{u(u+1)} du mal mit der Substitution u = \frac{q}{1-q} zu probieren.

(3) Die Kollegin der Fee flüstert Dir zu, mal u^3 + u^2 abzuleiten.

(4) Du weißt, dass die Areatangensfunktion definiert ist durch {\rm artanh}(z) = \frac{1}{2} \ln \Big(\frac{1+z}{1-z} \Big)
und die Ableitung \frac{1}{1 - z^2} hat.

Vorausgesetzt ist dabei, dass Du den Integranden zuvor so transformiert hast, dass Du „nur“ noch das Problem lösen musst, eine Stammfunktion zu \frac{1}{u(u+1)} zu bestimmen (damit ist die maximale Vereinfachung erreicht). Das ist mit je einem der obigen Ansätze möglich.

Muss ich zunächst eine Nullstelle des Nenners erraten?

Die kannst Du erraten oder ausrechnen, beides ist hier völlig banal. Jede Lösung der Aufgabe (wozu CAS- oder Integraltabellenbenutzung nicht zählt) erfordert übrigens die Faktorisierung des Nennerpolynoms.

Gruß
Martin

PS: Sorry, wenn ich Dir ein ungutes Gefühl in der Magengegend bereitet habe… :wink:

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#10

Um mal von meiner unendlos Kette an Kommentaren Abstand zu nehmen. ^^

Habe weiter online recherchiert und mir einiges zum Thema Partialbruchzerlegung für das Integrieren angeschaut.

Folgende Vorgehensweise in der Kurzzusammenfassung:

1. Nullstellen herausfinden!

p-q-Formel:

NST: x1 = 1 und x2 = -2

  1. Linearfaktorzerlegung --> Partialbruchzerlegung

f(x) = (x+1) / ((x-1) * (x+2))

f(x) = a / (x-1) + b / (x+2)

über Kreuz multipliziert, vereinfacht und „x-Paare“ zusammengepackt erhalte ich:

(ax + bx + 2a - b) / ((x-1) * (x+2)) =
((a+b) * x + 2a - b) / ((x-1) * (x+2))

Nun muss ja, auf die ursprüngliche Funktion beziehend:

a+b

= 1 sein
und

  • 2a - b

= 1 sein

3. Gleichungssystem aufstellen!

       I   a + b = 1
(+) II  2a - b = 1
         3a      = 2 --> a = 2/3

a eingesetzt:

2/3 + b = 1 --> b = 1/3

4. a und b einsetzen!

f(x) = a / (x-1) + b / (x+2) 
= 2/3 / (x-1) + 1/3 / (x+2)
= 2/3 * (1 / (x-1)) + 1/3 * (1 / (x+2))

Dieses nun zum Integrieren:

∫ f(x) dx = [2/3 * ln(x-1) + 1/3 * (x+2)] + C

Vielleicht bin ich jetzt der richtigen Vorgehensweise näher gekommen. Wie ich den abschließenden Ausdruck nun richtig integriere, weiß ich allerdings nicht mehr.

Ich bin dankbar über jedes Feedback!

Reiner

#11

Leider jetzt erst bemerkt, sorry

Hier das Ergebnis:

1/6  *  ln( x + 2 ) +  1/3*ln( -1 + x )

schöne Grüße!

#12

Legendär!
owt