Integral sin(x)*cos(x)-->1/2 cos x o. -0,5 cos x?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo alle zusammen,

ich habe ein kleines Problem mit dem Integral von sin(x)*cos(x):

In der Schule haben wir das ganze mithilfe der partiellen Integration gelöst und sind auf -1/2 cos²(x) gekommen
Zuhause habe ich es einmal mit einer Substitution versucht:

Int[cos(x)*sin(x)]

{sin(x)=v => dv/dx=cos(x) dv/cos(x)=dx}

Subst.=> Int[(cos(x)/cos(x))*v dv]=Int[v dv]= 1/2v²

Resubst.=> 1/2*cos²(x)

Findet irgendwer einen Fehler? Mit Ableiten komme ich auch nicht weiter, ich habe keine Ahnung wie man daraus wieder cos(x)*sin(x) basteln soll…

Vielen Dank im Voraus,

Till

#2

Findet irgendwer einen Fehler?

Ja, bei der Rücksubstitution. Du hast v = sin(x) gesetzt, nicht Cosinus. Dein Ergebnis wäre also 1/2 sin²(x).

Mit Ableiten komme ich auch
nicht weiter, ich habe keine Ahnung wie man daraus wieder
cos(x)*sin(x) basteln soll…

1/2sin²(x) = 1/2 (sin(x))²
1/2 d/dx (sin(x))² = sin(x) * d/dx sin(x) = sin(x)cos(x)

Mit dem Cosinus:
-1/2 d/dx (cos(x))² = - cos(x) * d/dx cos(x) = cos(x)sin(x)

Jetzt bleibt natürlich noch die Frage, ob 1/2sin²(x) = -1/2cos²(x) ist. Nein, aber 1/2sin²(x) ist dasselbe wie -1/2cos²(x)+1/2.

mfg,
Ché Netzer

#3

Vielen Dank, manchmal ist man auch wie vernagelt…
Ich denke meine Probleme sind damit soweit gelöst :smiley: